Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2015, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 14. Селфи аппарата Rosetta и масса ядра 67P/Чурюмова-Герасименко

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 12 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. 7 сентября 2014 года космическим аппаратом (КА) Rosetta, с помощью автоматизированного "глаза" посадочного модуля Philae бала сделана фотография-селфи (см. рис. 4), на которой можно увидеть солнечную батарею аппарата Rosetta на фоне ядра кометы 67P/Чурюмова-Герасименко. Известно, что длина "дверной петли" солнечной батареи (отрезок AB) равна 30 см, а расстояние от петли до объектива фотокамеры – 230 см. На рис. 5 представлена для сравнения фотография ядра 67P/Чурюмова-Герасименко с высоким разрешением, размеры которого равны $3 \times 5$ км. В момент получения фотографии КА двигался вокруг ядра кометы по круговой орбите с периодом 31.9 сут. Используя имеющиеся данные, определите радиус орбиты КА и массу ядра кометы. (12 баллов).

Черно-белая фотография: на переднем плане панель солнечной батареи аппарата Rosetta, на ней красными точками отмечены концы «дверной петли» A и B; вверху на черном фоне маленькое изображение двухлопастного ядра кометы. — Рис. 4: Селфи, полученное аппаратом Rosetta. На фото попало ядро 67P/Чурюмова-Герасименко.

Черно-белая фотография высокого разрешения неправильного двухлопастного ядра кометы 67P/Чурюмова-Герасименко на черном фоне. — Рис. 5: Фотография ядра 67P/Чурюмова-Герасименко с высоким разрешением, полученная аппаратом Rosetta.

Отговори

Решение

Дано: $d = 230$ см, $\ell = 30$ см, $a\times b = 3\times 5$ км, $T = 31.9$ сут

Найти: $r, \mathfrak{M}_N$ – ?

Решение: Заметим, что "дверная петля" солнечной батареи видна почти плашмя, т.е. световые лучи от нее идут почти перпендикулярно ее главному измерению (определяемому его длиной). Следовательно, легко определить угол ( $\alpha$ ), под которым она видна для камеры Philae: из треугольника $\triangle OAC$ (см. рис. 13, здесь в точке О расположена камера) следует, что

\mathrm{tg}\,\frac{\alpha}{2} = \frac{\ell}{2d},\ \Rightarrow\ \alpha = 2\mathrm{arctg}\left(\frac{\ell}{2d}\right) = 7.46^{\circ}. \qquad (13)

Зная угол $\alpha$ и линейный размер петли на фотографии $\ell_\alpha = 25$ мм (последний определяем по фотографии линейкой, в мм; следует помнить, что ваш результат может отличаться от выше приведенного) можно определить угловой масштаб фотографии $\mu'_\ell$ :

\mu'_\ell = \frac{\alpha}{\ell_\alpha} = 0.298^{\circ}/\text{мм}. \qquad (14)

Из сопоставления фотографий (11) и (12) следует, что на фотографии видна сторона ядра, характеризуемая меньшим измерением $b$ , которое можно определить как

Равнобедренный треугольник OAB: из точки O проведены лучи к концам вертикального отрезка AB (длина ℓ), середина C; отрезок OC длиной d делит угол при O на два угла α/2. — Рис. 13: к определению угла α.

b = 2\,r\ \mathrm{tg}\left(\frac{\beta}{2}\right), \qquad (15)

где $\beta$ – угол, под которым видно с борта КА меньшее измерение ядра, определяемое величиной $b$ . Данный угол определяем с использованием углового масштаба фотографии и расстояния $r$ :

\beta = \mu'_\ell\,\ell_\beta = 3.58^{\circ},

здесь $\ell_\beta = 12$ мм – значение меньшего измерения ядра кометы, определяемое по рисунку (в мм).

С использованием выше приведенных рассуждений и формулы (13) легко найти расстояние до ядра кометы (радиус орбиты космического аппарата Rosetta):

\mathrm{tg}\,\frac{\beta}{2} = \frac{b}{2r},\ \Rightarrow\ r = \frac{b}{\mathrm{tg}\,\frac{\beta}{2}} = 48\,\text{км}. \qquad (16)

Далее воспользуемся вторым законом Ньютона для КА, движущегося по круговой орбите (в проекциях на правление "КА-ядро кометы"):

m_{sc}a_{sc} = \frac{G\,m_{sc}\,\mathfrak{M}_N}{r^2}, \qquad (17)

здесь $m_{sc}, a_{sc}$ – масса и ускорение КА. При движении по круговой орбите $a_{sc}$ есть центростремительное ускорение, которое можно представить виде:

a_{sc} = \omega_{sc}^2\,r = \frac{4\pi^2}{T^2}r.

В результате второй закон Ньютона (17) представляется в виде:

\frac{4\pi^2}{T^2}r = \frac{G\,\mathfrak{M}_N}{r^2},\ \Rightarrow\ \mathfrak{M}_N = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2} = 9\cdot 10^{12}\ \text{кг}. \qquad (18)

Последний результат согласуется с наиболее точными гравиметрическими оценками массы ядра кометы ( $\mathfrak{M}_N = (1.0\pm 0.1)\cdot 10^{13}$ кг).

Ответ: $r = 48$ км, $\mathfrak{M}_N = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2} = 9\cdot 10^{12}$ кг. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf