Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2015, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18. Определение склонения Юпитера по горизонтальным координатам его двух положений

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 15 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Астроном-любитель с использованием теодолита получил горизонтальные координаты Юпитера ( $h_1, A_1$ и $h_2, A_2$ ) в 2 точках его суточной параллели (в два близких момента времени). Им был предложен новый метод определения склонения планеты, с использованием значений высот ( $h_1$ , $h_2$ ) и изменения азимута планеты $\Delta A = A_2 - A_1$ (см. таблицу 1). Получите аналитическое выражение для склонения светила, с учетом явления рефракции света, в терминах $\{h_1, h_2, \Delta A, \varphi\}$ , где $\varphi = 52^{\circ}53'$ – астрономическая широта места наблюдения. Решение задачи следует выполнить в виде ряда этапов.

1. Рассмотрите параллактический треугольник; запишите формулы синусов и косинусов для данного треугольника, выражая экваториальные координаты через горизонтальные.

2. С использованием полученных формул, найдите аналитическое выражение для склонения Юпитера $\delta$ , как явно заданную функцию параметров $\{h_1, h_2, \Delta A, \varphi\}$ . Выполните анализ полученного результата.

3. Влияние рефракции исключить из данных наблюдений посредством замены исходных данных высоты планеты на исправленные значения

h_i \to h_i^{(0)},\ \text{где}\ h_i^{(0)} = h_i - \delta h_i,

здесь $\delta h_i$ – угол рефракции, определяемый формулой Лапласа:

\delta h_i = A_{\rm h}\,\mathrm{ctg}\,h_i - B_{\rm h}\,\mathrm{ctg}^3\,h_i,\ A_{\rm h} = 57.085'',\ B_{\rm h} = 0.067''.

4. Вычислите для каждого набора $\{h_{1\,i}, h_{2\,i}, \Delta A_i\}$ значение $\delta_i$ . Искомый результат для склонения определите средним арифметическим значением $\bar{\delta}$ для набора $\{\delta_i\}$ .

5. Ошибку определения склонения планеты $\bar{\delta}$ оцените посредством использования случайной погрешности среднего арифметического:

\Delta\delta = t_n\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\frac{(\bar{\delta} - \delta_i)^2}{n(n-1)}}. \qquad (1)

где $\delta_i$ – i-ое значение склонения планеты, $n$ – количество полученных значений искомой величины (в данном случае $n = 10$ ), $t_n = 2.262$ – коэффициент Стьюдента для $n = 10$ . (15 баллов).

№ п/п	$h_1$ , град	$h_2$ , град	$\Delta A$ , град
1	13.896	14.567	0.850
2	17.121	17.742	0.800
3	21.229	21.825	0.767
4	25.475	26.100	0.858
5	29.450	30.250	1.088
6	32.783	33.692	1.300
7	36.083	36.696	0.921
8	40.642	41.333	1.158
9	44.083	44.633	1.083
10	47.525	48.046	1.175

Таблица 1: значения данных наблюдений Юпитера от 14.08.2000 г, полученные астрономом-любителем.

Отговори

Решение

Решение: 1. Сферический треугольник, у которого вершинами являются: зенит места наблюдения, полюс мира и светило, называется параллактическим треугольником (рис. 16.а).

В параллактическом треугольнике одна сторона – дуга небесного меридиана между полюсом $P_n$ и зенитом $Z$ – равна $90^{\circ} - \varphi$ , где $\varphi$ – широта места наблюдения. Другая сторона – полярное расстояние светила $C$ равна $90^{\circ} - \delta$ , и третья равна зенитному расстоянию светила $z$ . Если светило находится к западу от небесного меридиана, то угол при полюсе есть часовой угол светила $t$ , угол при зените $180^{\circ} - A$ .

Если светило находится к востоку от небесного меридиана, то угол при полюсе будет $360^{\circ} - t$ , а угол при зените $A - 180^{\circ}$ . Угол $q$ при светиле называется параллактическим углом.

Запишем формулы синусов, косинусов и пяти элементов для данного треугольника, выражая экваториальные координаты через горизонтальные:

\left.\begin{array}{l}a)\ \cos\delta\,\sin t = \sin z\,\sin A,\\ b)\ \cos\delta\cos t = \cos z\,\cos\varphi + \sin z\,\sin\varphi\,\cos A,\\ c)\ \sin\delta = \sin\varphi\,\cos z - \cos\varphi\,\sin z\,\cos A.\end{array}\right\} \qquad (33)

Две схемы. а) Параллактический треугольник с вершинами P_N, Z и C: сторона 90°−φ (P_N–Z), сторона 90°−δ (P_N–C), сторона z (Z–C); угол t при P_N, угол 180°−A при Z, угол q при C. б) Небесная сфера с осями x, y, z, центром O, зенитом Z, точками S, E, D, A, B; пунктирная суточная параллель через точки C₁ и C₂, зенитные расстояния z₁, z₂, азимуты A₁, A₂, угол σ и разность азимутов ΔA. — Рис. 16: к определению а) параллактического треугольника, б) склонения небесного тела.

Т.о. при известной широте места наблюдения, зная зенитное расстояние (высоту) и азимут светила, можно вычислить его склонение и часовой угол.

2. Рассмотрим задачу определения склонения небесного тела ( $\delta$ ).

Пусть небесное тело в момент времени $t_1$ находится в точке $C_1$ небесной сферы (см. рис. 16.б). В силу суточного вращения небесной сферы, в момент времени $t_2$ объект окажется в точке $C_2$ , причем $t_2 - t_1 \ll T_\oplus$ . Будем полагать, что произведено измерение горизонтальных координат небесного тела в точках $C_1$ – $(h_1, A_1)$ и $C_2$ – $(h_2, A_2)$ небесной сферы.

Воспользуемся выражением (33.с), для каждой пары горизонтальных координат можем записать

\left.\begin{array}{l}\sin\delta = \sin h_1\sin\varphi - \cos h_1\cos A_1\cos\varphi,\\ \sin\delta = \sin h_2\sin\varphi - \cos h_2\cos A_2\cos\varphi,\end{array}\right\} \qquad (34)

откуда

\cos A_1 = \frac{\sin h_1\sin\varphi - \sin\delta}{\cos h_1\cos\varphi},\ \ \cos A_2 = \frac{\sin h_2\sin\varphi - \sin\delta}{\cos h_2\cos\varphi}. \qquad (35)

На эксперименте проводится измерение горизонтальных координат с помощью угломерных приборов, например, теодолита. С помощью таких инструментов достаточно легко добиться корректного измерения высоты светила (необходимо лишь отцентрировать прибор на направление отвесной линии). Гораздо более трудной задачей является точное определение положения точки юга, от которой ведется отсчет азимутального расстояния светила. Однако этой трудности можно избежать если проводить измерения горизонтальных координат светила через малые промежутки времени (3-5 мин), когда светило, очевидно, находится в одной из четвертей возможных значений $A$ . В этом случае можно ограничиться определением изменения азимутального расстояния $\Delta A = A_2 - A_1 \gt 0$ . Тогда

\cos(\Delta A) = \cos(A_2 - A_1) = \cos A_1\cos A_2 + \sin A_1\sin A_2, \qquad (36)

откуда

\begin{aligned}\cos^2(\Delta A) + \cos^2 A_1\cos^2 A_2 - 2\cos(\Delta A)\cos A_1\cos A_2 &= \sin^2 A_1\sin^2 A_2,\\ \cos^2(\Delta A) - 2\cos(\Delta A)\cos A_1\cos A_2 &= 1 - \cos^2 A_1 - \cos^2 A_2,\\ \cos^2 A_1 + \cos^2 A_2 - 2\cos(\Delta A)\cos A_1\cos A_2 &= \sin^2(\Delta A),\end{aligned} \qquad (37)

из (37) с учетом (35) следует, что

\begin{aligned}&(\sin h_1\sin\varphi - \sin\delta)^2\cos^2 h_2 + (\sin h_2\sin\varphi - \sin\delta)^2\cos^2 h_1 - 2\cos\Delta A\cos h_1\times\\ &\times\cos h_2(\sin h_1\sin\varphi - \sin\delta)(\sin h_2\sin\varphi - \sin\delta) = \sin^2(\Delta A)\cos^2 h_1\cos^2 h_2\cos^2\varphi.\end{aligned}

Последнее уравнение можно представить в виде

a\sin^2\delta - b\sin\delta + c = 0 \qquad (38)

a = \cos^2 h_1 + \cos^2 h_2 - 2\cos\Delta A\cos h_1\cos h_2, \qquad (39)

\begin{aligned}b = 2\sin\varphi\,&\big[(\sin h_1\cos^2 h_2 + \sin h_2\cos^2 h_1) - \cos\Delta A\cos h_1\cos h_2\times\\ &\times(\sin h_1 + \sin h_2)\big],\end{aligned} \qquad (40)

\begin{aligned}c = \sin^2\varphi(&\sin^2 h_1\cos^2 h_2 + \sin^2 h_2\cos^2 h_1 - \tfrac{1}{2}\cos\Delta A\sin 2h_1\sin 2h_2) -\\ &- \cos^2\varphi\sin^2(\Delta A)\cos^2 h_1\cos^2 h_2.\end{aligned} \qquad (41)

Решение этого уравнения представляется в виде:

\begin{aligned}\delta_\mp = \arcsin&\left[\frac{b}{2a} \mp \frac{1}{2a}\sqrt{b^2 - 4ac}\right] = \arcsin\Big[\Big[\sin\varphi\,\big[(\sin h_1\cos^2 h_2 + \sin h_2\times\\ &\times\cos^2 h_1) - \cos\Delta A\cos h_1\cos h_2(\sin h_1 + \sin h_2)\big] \mp |\sin\Delta A\cos h_1\cos h_2|\times\\ &\times\big[(\cos^2 h_1 + \cos^2 h_2 - 2\cos h_1\cos h_2\cos\Delta A)\cos^2\varphi - (\sin h_1 - \sin h_2)^2\times\\ &\times\sin^2\varphi\big]^{\frac{1}{2}}\Big]\Big/(\cos^2 h_1 + \cos^2 h_2 - 2\cos\Delta A\cos h_1\cos h_2)\Big].\end{aligned} \qquad (42)

Оба корня уравнения могут быть физическими. Однако, первый корень отвечает положению тела с $\delta \lt \varphi$ , т.е. такой объект должен кульминировать к югу от зенита, а второй корень – положению тела с $\delta \gt \varphi$ , т.е. данный объект должен кульминировать к северу от зенита. Для однозначного определения истинного значения склонения небесного тела достаточно лишь один раз пронаблюдать его движение в окрестности меридиана и оценить положение его точки кульминации по отношению к точке зенита. Согласно оценке выбрать соответствующий корень системы решений (42).

3.-5. В таблице 2 представлены значения искомых параметров для Юпитера на 14 августа 2000 г. Итоговые результаты исправлены за рефракцию света. Истинному значению склонения Юпитера отвечает решение $\delta_-$ . В 5-ой и 7-ой колонках таблицы представлены ошибки определения склонения $\delta$ планеты, вычисленные согласно (32).

Важно отметить, что нефизическое решение $\delta_+$ обладает значительной "нестабильностью" и наблюдается устойчивая тенденция роста значения корня с увеличением высоты Юпитера над горизонтом.

№ п/п	$h_1$ , град	$h_2$ , град	$\Delta A$ , град	$\delta_-$ , град	$\Delta\delta_-$ , град	$\delta_+$ , град	$\Delta\delta_+$ , град
1	13.896	14.567	0.850	18.062		18.062
2	17.121	17.742	0.800	20.727		23.263
3	21.229	21.825	0.767	20.977		33.367
4	25.475	26.100	0.858	17.264		46.395
5	29.450	30.250	1.088	21.440		52.438
6	32.783	33.692	1.300	21.381		59.566
7	36.083	36.696	0.921	21.975		65.412
8	40.642	41.333	1.158	22.422		73.404
9	44.083	44.633	1.083	21.338		78.984
10	47.525	48.046	1.175	21.990		83.701
среднее				20.758	1.227	53.459	0.914

Таблица 2: Значения данных наблюдений Юпитера от 14.08.2000 г. и значения $\delta_\mp$ и $\Delta\delta_\mp$ , вычисленные согласно (42) и (32).

Дата	Результаты	наши	Orbits 3.0	АК
14.08.2000	$\delta\pm\Delta\delta$	$20.758\pm 1.227$	20.781	20.758
	$\varepsilon_\delta$ , %	5.91

Таблица 3: Сводка итоговых результатов для $\delta$ Юпитера, полученных в настоящей работе, генерируемых программой Orbits 3.0 и приведенных в астрономическом календаре (АК) за указанные даты.

Отметим, что в таблице 3 приведены для сравнения результаты для склонения, генерируемые программой Orbits 3.0 и приведенные в астрономическом календаре (АК) (см. литературу $^2$ ) за указанные даты. Из сопоставления результатов следует, что полученные результаты уверенно согласуются с результатами астрономов-профессионалов. При этом относительная погрешность определения склонения Юпитера составляет 5%. Для уменьшения ошибки определения склонения необходимо увеличить количество измерений горизонтальных координат.

Замечание: Отметим, что предложенный метод был впервые предложен Филипповым Ю.П. (©) и апробирован на большом массиве данных наблюдений для Юпитера, Сатурна, Марса. Исследования показали, что данный метод является эффективным экспресс-методом определения искомой величины, в том случае, когда не требуется очень высокая точность определения $\delta$ .

Ответ: $\delta\pm\Delta\delta = 20.758^{\circ}\pm 1.227^{\circ}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

$^2$ Астрономический календарь (2000). – Под ред. О.С. Угольникова. – М.: А.Д. Сельянов. – 1999. – 198с.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf