Самара 2015, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 17. Амплитуда статической деформации поверхности Земли

• δa = (3/4)(M_i/M⊕)(R⊕/Δ_i)³R⊕; δa☉ = 0.123 м, δa☾ = 0.269 м

Решение: Определим амплитуду статической деформации поверхности поверхности Земли под действием приливных сил Луны и Солнца. Рассмотрим два альтернативных способа решения поставленной задачи.

Способ № 1. Энергетический подход. Рассмотрим гипотетическую ситуацию в отношении Земли: будем полагать, что планета не имеет осевого вращения, и потому на ней приливообразующие силы практически не зависят от времени.

В случае невращающейся Земли полная потенциальная энергия пробного тела массы $m$ у поверхности планеты определяется суммой двух слагаемых: энергией поля силы тяжести Земли $U_g$ и энергией приливной силы $U_t$:

здесь $U_t$ – потенциальная энергия приливного взаимодействия для пробного тела массы $m$, которая определяется (см. например, литературу$^1$) выражением вида:

здесь $r'$ – величина геоцентрического радиус-вектора пробного тела (см. рис. 15), $\Delta_i$ – геоцентрическое расстояние до приливообразующего тела, $\mathfrak{M}_i$ – его масса ( в нашем случае это Солнце ($\odot$) и Луна ($\text{☾}$)). $\theta$ – полярный угол, откладываемый от продолжения прямой "приливообразующее тело-Земля".

С использованием явного выражения для приливной силы можно легко убедиться в том, что последняя стремится растянуть сферическое тело Земли вдоль прямой "приливообразующее тело-Земля" и сдавить в направлениях, перпендикулярных к данному. В результате этого тело Земли приобретает форму слабо вытянутого эллипсоида большая полуось которого равна $a_E = R_\oplus + \delta a$, а малая полуось – $b_E = R_\oplus - \delta a$, где $R_\oplus$ – радиус сферического, невозмущенного тела Земли; $\delta a$ – амплитуда статической деформации поверхности Земли, обусловленного действием приливных сил.

Поскольку форма Земли в равновесном состоянии не меняется, то потенциальная энергия $U_{\rm tot}$ во всех точках его поверхности должна быть величиной постоянной. Следовательно, потенциальные энергии в "подсолнечной точке" (см. 15) и в точке, лежащей на малой оси, перпендикулярной направлению "приливообразующее тело-Земля" равны между собой

Учитывая, что ускорение свободного падения на поверхности Земли есть $g = G\,\mathfrak{M}_\oplus/a_\oplus^2$, тогда амплитуда статической деформации (обусловленная действием приливных сил Солнца) представляется в виде:

здесь $\mathfrak{M}_\odot = 1.989\cdot 10^{30}$ кг – масса Солнца, $\mathfrak{M}_\oplus = 5.974\cdot 10^{24}$ кг – масса Земли, $R_\oplus = 6.378\cdot 10^6$ м – средний экваториальный радиус Земли, $a_\oplus = 1.496\cdot 10^{11}$ м – среднее расстояние от Земли до Солнца.

Аналогично рассуждая в случае Луны, имеем

здесь $\mathfrak{M}_{\text{☾}} = 7.348\cdot 10^{22}$ кг – масса Луны, $a_\oplus = 3.844\cdot 10^8$ м – среднее расстояние от Земли до Луны.

Способ № 2. Динамический подход. Вновь рассмотрим гипотетическую ситуацию невращающейся Земли. При этом приливообразующие силы практически не зависят от времени. В силу квадрупольной симметрии приливообразующих сил (это проявляется в появлении на поверхности Земли двух горбов и двух впадин $2\times 2 = 4$ полюса), следует, что поверхность планеты испытывая статическое искажение, должна принимая форму слабо сплюснутого эллипсоида вращения, уравнение профиля которого в полярных координатах можно представить в виде:

Здесь $\delta a$ – амплитуда статической деформации, удовлетворяющая условию $\delta a \ll R_\oplus$; $\theta$ – полярный угол, определенный в предыдущем случае.

В соответствии с уравнением (30), поверхность воды образует следующий угол с горизонтом:

Отсюда следует, что поверхность Земли горизонтальна (т.е. $\alpha = 0$) при $\theta = 0$ и при $\theta = 90^{\circ}$ (в точках $Z$ и $A$). Угол $\alpha$ максимален и равен $(2\delta a)/R_\oplus$ при $\theta = 45^{\circ}$ и при $\theta = 135^{\circ}$, где приливная сила имеет горизонтальное направление. В состоянии равновесия искаженная приливными силами земная поверхность перпендикулярна линии отвеса. Линия отвеса направлена вдоль векторной суммы силы земного тяготения и приливной силы. Малое отклонение линии отвеса от направления земной тяжести (от направления на центр Земли) вызвано горизонтальной составляющей приливной силы. Поэтому угол $\alpha$ равен отношению $F_{hor}$ к $F_{grav} = mg$. Можно показать (см. литературу$^1$), что горизонтальная составляющая приливной силы есть

Приравнивая $\alpha = 2\delta a/R_\oplus$ при $\theta = 45^{\circ}$ к $F_{hor}/F_{grav}$, получаем для удвоенного значения амплитуды статической деформации поверхности $2\delta a$ под действием приливообразующих сил:

откуда следуют выражения (28), (29).

Ответ: $\delta a = \frac{3}{4}\left(\frac{\mathfrak{M}_i}{\mathfrak{M}_\oplus}\right)\left(\frac{R_\oplus}{\Delta_i}\right)^3 R_\oplus$; $\delta a_\odot = \frac{3}{4}\left(\frac{\mathfrak{M}_\odot}{\mathfrak{M}_\oplus}\right)\left(\frac{R_\oplus}{a_\oplus}\right)^3 R_\oplus = 0.123$ м, $\delta a_{\text{☾}} = \frac{3}{4}\left(\frac{\mathfrak{M}_{\text{☾}}}{\mathfrak{M}_\oplus}\right)\left(\frac{R_\oplus}{a_{\text{☾}}}\right)^3 R_\oplus = 0.269$ м. ($\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

$^1$Бутиков Е.И. Физика океанских приливов в компьютерных моделях. Учебное пособие и методические материалы к комплексу моделирующих программ. – С.-П.: СПбГУ. – 2007. – 16с.