Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2015, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 16. Площадь летне-осеннего треугольника

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 13 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Найти (угловую) площадь (в квадратных градусах) части небесной сферы, заключенную внутри летне-осеннего треугольника. Все необходимые данные возьмите из справочной литературы. (13 баллов).

Отговори

Решение

Дано: летне-осенний треугольник.

Найти: $\Omega_\triangle$ – ?

Решение: Сферический треугольник ( $\triangle_S ABC$ ) – геометрическая фигура на поверхности сферы, образованная пересечением трех больших кругов (см. рис. 14.а). Как известно, сумма углов сферического треугольника $s = A + B + C$ удовлетворяет неравенству

\pi \lt s \lt 3\pi.

Сферическим избытком называется величина

\varepsilon = s - \pi.

Тогда площадь сферического треугольника есть величина

S = \varepsilon\cdot R^2,

где $R$ – радиус сферы, на поверхности которой расположен данный сферический треугольник. Угловая площадь или телесный угол участка небосвода есть величина, равная отношению площади этого участка к квадрату радиуса небесной сферы:

\Omega = \frac{S}{R^2}.

В случае сферического треугольника

\Omega_\triangle = \frac{\varepsilon\cdot R^2}{R^2} = \frac{41253^{\circ}}{4\,\pi}\varepsilon.

здесь $[\Omega_\triangle]$ = квад. градусы, $[\varepsilon]$ = рад.

Две схемы. а) Из центра сферы O проведены радиусы R к звездам C (Альтаир), A (Вега), B (Денеб), соединенным дугами a (C–B), b (C–A), c (A–B); при O отмечены углы a, b, c. б) Сферический треугольник с вершинами P_N, A и B: стороны 90°−δ_A и 90°−δ_B, угол α_A − α_B при P_N, сторона c между звездами A и B. — Рис. 14: к определению а) сторон и углов летне-осеннего треугольника, б) вспомогательного сферического треугольника.

Т.о. необходимо вычислить углы при вершинах данного треугольника: $\angle A$ (при Веге, $\alpha$ Лиры), $\angle B$ (при Денебе, $\alpha$ Лебедя), $\angle C$ (при Альтаире, $\alpha$ Орла) (см. рис. 14.а). Для определения данных углов необходимо воспользоваться теоремой косинусов для стороны треугольника $\triangle_S ABC$ :

\left\{\begin{array}{l}\cos a = \cos b\,\cos c + \sin b\,\sin c\,\cos A,\\ \cos b = \cos c\,\cos a + \sin c\,\sin a\,\cos B,\\ \cos c = \cos a\,\cos b + \sin a\,\sin b\,\cos C.\end{array}\right\},\ \Rightarrow\ \left\{\begin{array}{l}A = \arccos\left[\frac{\cos a - \cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}\right],\\ B = \arccos\left[\frac{\cos b - \cos c\,\cos a}{\sin c\,\sin a}\right],\\ C = \arccos\left[\frac{\cos c - \cos a\,\cos b}{\sin a\,\sin b}\right].\end{array}\right\} \qquad (23)

т.о. проблема углов при вершинах свелась к определению сторон треугольника.

Рассмотрим задачу определения стороны $c$ . Для этого рассмотрим сферический треугольник $\triangle_S ABP_N$ (см. рис. 14.б), составленный из звезд A и B северного полюса мира $P_N$ . Здесь $AP_N$ и $BP_N$ есть дуги кругов склонений данных звезд и равны соответственно $90^{\circ} - \delta_A$ и $90^{\circ} - \delta_B$ соответственно, где $\delta_A, \delta_B$ – склонения данных звезд. Угол при вершине равен разности прямых восхождений данных звезд $\angle P_N = \alpha_A - \alpha_B$ , тогда можно вновь воспользоваться теоремой косинусов для стороны $c$

\cos c = \cos(90^{\circ} - \delta_A)\cos(90^{\circ} - \delta_B) + \sin(90^{\circ} - \delta_A)\sin(90^{\circ} - \delta_B)\cos(\alpha_A - \alpha_B),\ \Rightarrow

c = \arccos\left[\sin\delta_A\sin\delta_B + \cos\delta_A\cos\delta_B\cos(\alpha_A - \alpha_B)\right]. \qquad (24)

причем $0 \le c \le \pi$ . Аналогично рассуждая. можно определить стороны $a$ и $b$ . В итоге

\left\{\begin{array}{l}a = \arccos\left[\sin\delta_B\sin\delta_C + \cos\delta_B\cos\delta_C\cos(\alpha_B - \alpha_C)\right],\\ b = \arccos\left[\sin\delta_A\sin\delta_C + \cos\delta_A\cos\delta_C\cos(\alpha_A - \alpha_C)\right],\\ c = \arccos\left[\sin\delta_A\sin\delta_B + \cos\delta_A\cos\delta_B\cos(\alpha_A - \alpha_B)\right].\end{array}\right\} \qquad (25)

В справочной литературе находим экваториальные координаты данных звезд:

\begin{array}{l}A(\text{Вега}) = \{18^h36^m56^s,\ +38^{\circ}47'01''\} = \{279.978^{\circ},\ +38.784^{\circ}\},\\ B(\text{Денеб}) = \{20^h41^m26^s,\ +45^{\circ}16'49''\} = \{311.186^{\circ},\ +45.280^{\circ}\},\\ C(\text{Альтаир}) = \{19^h50^m47^s,\ +08^{\circ}52'06''\} = \{298.490^{\circ},\ +8.868^{\circ}\}.\end{array}

Проводя вычисления согласно изложенному выше алгоритму, в результате получаем:

a = 38.022^{\circ},\ \ b = 34.218^{\circ},\ \ c = 23.907^{\circ}.

A = 81.977^{\circ},\ \ B = 64.689^{\circ},\ \ C = 40.652^{\circ}.

Тогда $s = 187.318^{\circ} = 3.26931$ рад, сферический избыток $\varepsilon = 0.12772$ , угловая площадь треугольника $\Omega_\triangle = 419.3$ кв. град.

Ответ: $\Omega_\triangle = 419.3$ кв. град. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf