Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2015, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. Постоянная Хаббла и возраст Вселенной

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 15 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

В таблице 1 представлены данные измерений расстояний ( $D$ ) до 20 галактик (или их скоплений) и их лучевых скоростей ( $V_r$ ). В 1929 году знаменитый американский астроном Эдвин Хаббл по данным наблюдений за цефеидами установил зависимость лучевой скорости галактики ( $V_r$ ) от расстояния до нее ( $D$ ). Эта зависимость носит название «закон Хаббла» и имеет вид:

V_r = H\cdot D, \qquad (1)

здесь $H$ – постоянная Хаббла. С использованием формулы (1) и данных таблицы 1

а) постройте график зависимости лучевой скорости галактики от расстояния $D$ до нее. Найдите $H$ и ошибку ее определения с использованием случайной погрешности среднего арифметического;

б) оцените Хаббловкий возраст Вселенной $t_H$ и его погрешность, пользуясь соотношением вида

t_H = \frac{1}{H}. \qquad (2)

В вычислениях следует использовать следующие размерности величин: $[D]$ = Мпк; $[V]$ = км/с; $[H]$ =км/(с·Мпк). Случайная погрешность среднего арифметического определяется выражением:

\Delta H = t_n\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\frac{(\bar{H} - H_i)^2}{n(n-1)}}. \qquad (3)

где $\bar{H}$ – среднее арифметическое значение постоянной Хаббла, $H_i$ – i-ое значение постоянной Хаббла, $n$ – количество полученных значений искомой постоянной, $t_n = 2.093$ – коэффициент Стьюдента для $n = 20$ . (15 баллов).

№	Галактика (скопление галактик)	$D$ , $\times 10^6$ св. лет	$V_r$ (км/с)	№	Галактика (скопление галактик)	$D$ , $\times 10^6$ св. лет	$V_r$ (км/с)
1	M81	12	127	11	NGC3245	75	1308
2	Sculptor	9	177	12	NGC2768	75	1400
3	M101	25	363	13	NGC4038	70	1502
4	NGC2835	30	547	14	ESO505-3	75	1601
5	Leo I	35	702	15	NGC720	80	1717
6	NGC628	40	792	16	NGC4291	85	1802
7	Virgo I	52	895	17	NGC584	75	1907
8	Dorado	65	1000	18	NGC5962	90	2001
9	NGC3370	65	1099	19	NGC3613	105	2106
10	NGC3338	70	1198	20	M58 (NGC4579)	68	1517

Таблица 1: данные измерений (расстояние – $D$ и лучевая скорость – $V_r$ ) для галактик и их скоплений.

Отговори

Решение

а) Выражая расстояния в Мпк, а скорости в км/с, строим график зависимости $V_r(D)$ (см. рис. 13).

Точечный график: по горизонтали D, Мпк (от 0 до 33, деления 5, 10, …, 30), по вертикали V_r, ×10³ км/с (от 0 до 2.0); двадцать синих точек с вертикальными линиями до оси абсцисс, растущих примерно линейно от ≈0.13 при D≈3 до ≈2.1 при D≈32. — Рис. 13: Зависимость лучевой скорости $V_r$ галактики от расстояния $D$ до нее (для $n = 20$ галактик).

Затем для каждой галактики вычисляем постоянную Хаббла по формуле

H = \frac{V_r}{D}. \qquad (26)

Результаты вычислений представлены в таблице 3.

Затем вычисляем среднее арифметическое для постоянной Хаббла по формуле

\bar{H} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} H_i = 62.146\,\frac{\text{км}}{\text{с}\cdot\text{Мпк}}, \ \ \text{где} \ \ n = 20.

	Галактика	D, Мпк	$V_r$ , Мпк	H, км/(с·Мпк)		Галактика	D, Мпк	$V_r$ , Мпк	H, км/(с·Мпк)
1	M81	3.679	127	34.518	11	NGC3245	22.995	1308	56.882
2	Sculptor	2.759	177	64.145	12	NGC2768	22.995	1400	60.883
3	M101	7.665	363	47.358	13	NGC4038	21.462	1502	69.985
4	NGC2835	9.198	547	59.470	14	ESO505-3	22.995	1601	69.624
5	Leo I	10.731	702	65.418	15	NGC720	24.528	1717	70.002
6	NGC628	12.264	792	64.580	16	NGC4291	26.061	1802	69.146
7	Virgo I	15.943	895	56.137	17	NGC584	22.995	1907	82.932
8	Dorado	19.929	1000	50.179	18	NGC5962	27.594	2001	72.516
9	NGC3370	19.929	1099	55.146	19	NGC3613	32.193	2106	65.418
10	NGC3338	21.462	1198	55.820	20	M58 (NGC4579)	20.849	1517	72.763

Таблица 3: данные измерений (расстояние – $D$ и лучевая скорость – $V_r$ ) для галактик и их скоплений.

Далее для каждой галактики вычисляем разность $(\bar{H} - H_i)$ , а затем по формуле (25) вычисляем случайную погрешность среднего арифметического:

\Delta H = 5.034\,\frac{\text{км}}{\text{с}\cdot\text{Мпк}}.

Т.о. окончательное выражение для постоянной Хаббла с учетом ошибки представляется в виде:

\bar{H} \pm \Delta H = 62.146 \pm 5.034\,\frac{\text{км}}{\text{с}\cdot\text{Мпк}}.

б) Вычислим Хаббловкий возраст Вселенной:

t_H = \frac{1}{\bar{H}} = \frac{3.086\cdot 10^{19}}{62.146\,\frac{\text{км}}{\text{с}\cdot\text{км}}} = 4.966\cdot 10^{17}\,\text{с} = 15.73\,\text{млрд. лет},

Далее вычислим минимально возможное значение $t_H$ :

t_H^{(\min)} = \frac{1}{\bar{H} + \Delta H} = \frac{3.086\cdot 10^{19}}{67.180\,\frac{\text{км}}{\text{с}\cdot\text{км}}} = 4.594\cdot 10^{17}\,\text{с} = 14.56\,\text{млрд. лет},

вычислим максимально возможное значение $t_H$ :

t_H^{(\max)} = \frac{1}{\bar{H} - \Delta H} = \frac{3.086\cdot 10^{19}}{67.180\,\frac{\text{км}}{\text{с}\cdot\text{км}}} = 5.403\cdot 10^{17}\,\text{с} = 17.12\,\text{млрд. лет}.

Здесь мы учли, что 1 Мпк $= 3.086\cdot 10^{19}$ км.

Окончательно, Хаббловкий возраст равен: $t_H = 15.73^{+1.39}_{-1.17}$ млдр. лет.

Ответ: а) $\bar{H} \pm \Delta H = 62.146 \pm 5.034\,\frac{\text{км}}{\text{с}\cdot\text{Мпк}}$ , б) $t_H = 15.73^{+1.39}_{-1.17}$ млдр. лет. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

$^3$ Автор исходного варианта задачи – Гришин Кирилл, доработку выполнил Филиппов Ю.П.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-1]_8-9 classes.pdf