Самара 2015, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 17. Венера и МКС

• а) Δ = 0.42 а.е., D″_V ≈ 40″; б) D″_ISS = 40″, r_ISS ≈ 516 км; в) h_ISS ≈ 49°

  Результаты зависят от измерений по фотографии.

Дано: $D_{\mathrm{ISS}} = 10^2$ м, $H = 400$ км.

Найти: $\Delta$, $D''_V$ – ? $D''_{\mathrm{ISS}}$, $r_{\mathrm{ISS}}$ – ? $h_{\mathrm{ISS}}$ – ?

Решение:

а) для определения геоцентрического расстояния ($\Delta$) Венеры рассмотрим плоский треугольник (см. рис. 11.а) $\triangle SVE$, образованный Солнцем ($S$), Венерой ($V$) и Землей ($E$) и воспользуемся теоремой косинусов для определения стороны $SE = r_\oplus$ – гелиоцентрического расстояния Земли:

Здесь $r_V$ – гелиоцентрическое расстояние Венеры, $\varphi$ – фазовый угол Венеры – угол между направлениями на Землю и на Солнце, если смотреть из центра Венеры (см. рис. 11.а).

Из уравнения (19) следует квадратное уравнение относительно переменной $\Delta$:

В силу малости эксцентриситетов орбит Земли и Венеры, последние можно считать круговыми, тогда гелиоцентрические расстояния планет равны их большим полуосям – $r_V = a_{\text{♀}} = 0.723$ а.е., $r_\oplus = a_\oplus = 1.000$ а.е.

Для решения уравнения (20) необходимо определить фазовый угол $\varphi$. Последний определяет фазу Венеры $\Phi_V$ – безразмерную величину, равную отношению площади ($S_{\mathrm{obs}}$) освещенной части диска планеты, видимой для земного наблюдателя к площади ($S_{\mathrm{tot}}$) всей поверхности диска, обращенного к наблюдателю (см. рис. 11.б), т.е.

Можно показать, что фаза Венеры может быть представлена в виде:

где $d_{\mathrm{obs}} = BG$ – ширина серпа Венеры, которую можно легко определить по рисунку (в нашем случае $d_{\mathrm{obs}} = 3.5$ мм), $\mathfrak{D}_N = BF$ – диаметр видимого диска Солнца (по рисунку данная величина есть расстояние между вершинами серпа – $\mathfrak{D}_N = 14$ мм). В результате фаза $\Phi_V = 0.25$. Тогда нам становится известным $\cos\varphi$:

В результате уравнение (20) представляется в виде:

физический корень которого есть

Зная расстояние до планеты можно легко определить ее угловой диаметр $D''_V$:

здесь $D_V = 12103$ км – диаметр Венеры.

б) Зная угловой диаметр планеты и ее линейный диаметр, определенный по фотографии можно легко определить угловой масштаб фотографии (ваш результат может несколько отличаться от ниже приведенного):

Далее определяя наибольшую протяженность МКС по фотографии в мм ($\ell_{\mathrm{ISS}} = 14$ мм), можно определить ее угловой диаметр $D''_{\mathrm{ISS}}$ и расстояние $r_{\mathrm{ISS}}$ до нее:

в) Для определения угловой высоты МКС ($h_{\mathrm{ISS}}$) над горизонтом рассмотрим плоский треугольник $\triangle OCSt$, составленный из наземного наблюдателя (O), центра Земли (C) и МКС (St), см. рис. 12. Воспользуемся теоремой косинусов для данного треугольника:

здесь $R_\oplus = 6371$ км – средний по объему радиус Земли-шара; $H$ – высота орбиты МКС. Из последнего уравнения следует выражение для $h_{\mathrm{ISS}}$:

Ответ: а) $\Delta = -r_V(1 - 2\Phi_V) + \sqrt{r_V^2(1 - 2\Phi_V)^2 + (r_\oplus^2 - r_V^2)^2} = 0.42$ а.е., $D''_V \approx 40''$; б) $D''_{\mathrm{ISS}} = 40''$, $r_{\mathrm{ISS}} \approx 516$ км; в) $h_{\mathrm{ISS}} = \arcsin\left(\frac{2\,H\,R_\oplus + H^2 - r_{\mathrm{ISS}}^2}{2\,R_\oplus\,r_{\mathrm{ISS}}}\right) \approx 49^{\circ}$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

$^2$Автор исходного варианта задачи – Гришин Кирилл, доработку выполнил Филиппов Ю.П.