Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2015, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 16. Время жизни Солнца на стадии желтого карлика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 13 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Согласно, современным представлениям время пребывания Солнца на стадии желтого карлика сегодня составляет 4.57 млрд. лет (при этом Солнце находится на главной последовательности диаграммы Герцшпрунга-Рассела). Общее время жизни Солнца на данной стадии определяется временем горения водорода в его ядре. Полагая, что масса ядра Солнца составляет $\eta_N = 0.1$ от его полной массы, а его светимость останется неизменной в течение всего времени жизни и равной настоящей, оцените оставшееся время жизни Солнца на стадии желтого карлика. (13 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $T_{\mathrm{age}} = 4.57$ млрд. лет, $\eta_N = 0.1$ .

Найти: $\tau_{\mathrm{life}}$ – ?

Решение: Согласно условию задачи, Солнце будет пребывать на стадии желтого карлика до тех пор, пока не сгорит весь водород в его ядре (посредством термоядерных реакций) и превратится в гелий. При этом энергия, выделяющаяся в результате горения водорода должна выноситься прочь посредством света (электромагнитных волн). Воспользуемся формулой Эйнштейна (для ядра Солнца) для двух близких моментов времени ( $t_1$ и $t_2$ ):

t_1:\ E_1 = \mathfrak{M}_{N\,1}\,c^2, \quad t_2:\ E_2 = \mathfrak{M}_{N\,2}\,c^2.

Вычтем из второго уравнения первое с учетом $\Delta E = E_2 - E_1$ , $\Delta\mathfrak{M}_N = \mathfrak{M}_{N\,2} - \mathfrak{M}_{N\,1}$ , $\Delta t = t_2 - t_1$ .

\Delta E = \Delta\mathfrak{M}_N\,c^2,

разделим данное уравнение на время $\Delta t$ , тогда

\left(\frac{\Delta E}{\Delta t}\right) = \left(\frac{\Delta\mathfrak{M}_N}{\Delta t}\right)c^2, \ \Rightarrow \ \frac{\Delta\mathfrak{M}_N}{\Delta t} = \frac{1}{c^2}\left(\frac{\Delta E}{\Delta t}\right) = -\frac{L_\odot}{c^2}.

Последнее уравнение определяет скорость уменьшения (на это указывает знак «-») массы ядра Солнца, которая, очевидно, есть постоянная величина (в последнем выражении $L_\odot = 3.827\cdot 10^{26}$ Вт – светимость Солнца в настоящий момент). Тогда легко записать закон изменения массы ядра Солнца (по аналогии с законом равномерного прямолинейного движения):

\mathfrak{M}_N = \mathfrak{M}_N^{(0)} - \left(\frac{L_\odot}{c^2}\right)t.

Из последнего выражения следует, что в некоторый конечный момент времени $t_f$ , определяемое выражением

t_f = \left(\frac{(\mathfrak{M}_N^{(0)} - \mathfrak{M}_N^{(He)})\,c^2}{L_\odot}\right) \qquad (16)

водород в ядре полностью выгорит и образуется гелиевое ядро с массой $\mathfrak{M}_N^{(He)} = \eta_N^{(He)}\,\mathfrak{M}_\odot$ . Для определения величины последнего вычислим энергию, выделяющуюся в одном акте термоядерного цикла горения водорода. В результате слияния четырех протонов образуется одно ядро гелия $\,{}^4_2He$ , следовательно, энергия выделяемая в данном процессе есть:

\Delta E = 4m_pc^2 - m_{He}c^2 = 4.11507\cdot 10^{-12}\,\text{Дж} = 2.56842\cdot 10^7\,\text{эВ}. \qquad (17)

здесь учтено, что $m_p = 1.672621777\cdot 10^{-27}$ кг – масса протона, $m_{He} = 6.644656\cdot 10^{-27}$ кг – масса ядра гелия $\,{}^4_2He$ ( $\alpha$ -частицы), $c = 299792458$ м/с – скорость света в вакууме; 1эВ $=1.6\cdot 10^{-19}$ Дж.

Т.о., выделяется энергия $\Delta E = 25.684$ МэВ. Далее учтем, что энергия покоя протона $E_p = m_pc^2 = 938.272$ МэВ, следовательно, энерговыделение посредством света (электромагнитных волн) данных термоядерных циклов на единицу массы $\eta_\gamma$ есть

\eta_\gamma = \frac{\Delta E_\gamma}{4E_p} = 6.843\cdot 10^{-3}. \qquad (18)

Следовательно, доля $\eta_\gamma$ от исходной энергии покоя ядра Солна превратится в энергию излучения, а масса гелиевого ядра будет равна $\mathfrak{M}_N^{(He)}) = (1 - \eta_\gamma)\mathfrak{M}_N^{(0)}$ . Тогда (16) запишется в виде:

t_f = \eta_N\,\eta_\gamma\left(\frac{\mathfrak{M}_\odot\,c^2}{L_\odot}\right) = 3.201\cdot 10^{17}\,\text{с} = 10.14\cdot 10^9\,\text{лет}.

Зная полное время $t_f$ пребывания Солнца на стадии желтого карлика и уже прошедшее время $T_{\mathrm{age}}$ , можно вычислить оставшееся время пребывания на данной стадии:

\tau_{\mathrm{life}} = t_f - T_{\mathrm{age}} = 5.57\,\text{млрд. лет}.

Ответ: $\tau_{\mathrm{life}} = 5.57$ млрд. лет. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-1]_8-9 classes.pdf