Самара 2015, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 15. Сфера тяготения классической планеты

• $R_{\mathrm{at}} = r_{12}\frac{\sqrt{\mu}}{1 + \sqrt{\mu}} \approx \sqrt{\mu}\,r_{12},\quad \mu = \frac{\mathfrak{M}_2}{\mathfrak{M}_1}$

Дано: $\mathfrak{M}_1 > \mathfrak{M}_2$.

Найти: $R_{\mathrm{at}}$ – ?

Решение: Согласно определению, сфера тяготения – воображаемая поверхность, охватывающая меньшее по массе тело (тело 2), в каждой точке которой выполняется следующее условие: силы притяжения, действующие на пробное тело $T$ со стороны тел 1 и 2 равны между собой по величине:

При записи (15) мы использовали закон всемирного тяготения Ньютона для двух гравитирующих материальных точек; здесь $m$ – масса пробного тела T; $r_{1T}, r_{2T}$ – расстояния от пробного тела до указанных массивных тел 1 и 2. Внутри сферы тяготения притяжение планеты превосходит солнечное тяготение.

Можно строго доказать$^1$, что данная поверхность есть сфера (с точки зрения геометрии), центр которой, в случае $\mathfrak{M}_2 \ll \mathfrak{M}_1$ (что имеет место в случае всех классических планет), фактически совпадает с центром планеты (тело 2). В этом случае $R_{\mathrm{at}} = r_{2T}$, при этом $r_{1T} = r_{12} - r_{2T}$ – в случае точки данной сферы, лежащей на прямой, соединяющей массивные тела, где $r_{12}$ – гелиоцентрическое расстояние планеты от Солнца. Тогда (15) можно представить в виде:

Проведенный численный анализ полученного результата (в случае когда $r_{12} = a_P$, где $a_P$ – большая полуось орбиты планеты) для восьми классических планет, дает следующие значения радиусов их сфер тяготения:

Таблица 1: значения радиусов сфер тяготения для восьми классических планет (определенных по отношению к Солнцу).

Ответ: $R_{\mathrm{at}} = r_{12}\frac{\sqrt{\mu}}{1 + \sqrt{\mu}} \approx \sqrt{\mu}\,r_{12}$, значения радиусов сфер тяготения классических планет представлены в таблице 1. ($\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

$^1$См. например, страницу http://www.astronet.ru/db/msg/1171221.