Самара 2015, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 14. Площадь части небесной сферы

• 5370 кв. град

Часть небесной сферы, заключенная между большими кругами эклиптики и небесного экватора, представляет собой два одинаковых сферических двуугольника (см. рис. 8, $\Upsilon E_1 \text{♎} A_1 \Upsilon$, $\Upsilon E_2 \text{♎} A_2 \Upsilon$).

Двуугольник в сферической геометрии – это многоугольник с двумя сторонами и двумя углами (см. рис. 9). В Евклидовой геометрии двуугольник считается невозможной фигурой, так как его две стороны совпадают. Но в сферической геометрии четыре двуугольника образуются при пересечении двух больших окружностей. Площадь сферического двуугольника определяется формулой

где $R$ – радиус сферы, а $\alpha$ – угол раствора двуугольника (выраженный в радианах) – двугранный угол между плоскостями больших кругов, его порождающих. Откуда следует площадь поверхности сферы

Учитывая, что

• угловая площадь (телесный угол – $\Omega$), отвечающая некоторой области на поверхности сферы, пропорциональна ее площади:

  $$\Omega \sim S,$$
• угловая площадь, отвечающая все поверхности сферы, равна 41253 квадратных градуса,

можно составить следующую пропорцию

В данном случае $\alpha = \varepsilon = 23^{\circ}26' = 0.409$ рад, тогда $\Omega_1 = 2685$ кв. град. Следовательно, площадь двух таких двуугольников есть $\Omega_2 = 2\,\Omega_1 = 5370$ кв. град.

Ответ: $\Omega_2 = 5370$ кв. град. ($\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).