Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18. Закон планетных расстояний Шмидта

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 15 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. В 1946 году академик О.Ю. Шмидт с использованием общих принципов небесной механики предложил новую форму закона планетных расстояний (гелиоцентрических расстояний планет), наиболее общий вид которого можно представить так:

\sqrt{r_n} = a + b\, n, \qquad (2)

здесь $a, b$ – константы, подлежащие определению, $n$ – порядковый номер планеты. Данный набор параметров определялся Шмидтом отдельно для планет земной группы и группы планет-гигантов + Плутон. С использованием метода наименьших квадратов, данных для планетных расстояний, представленных в таблице 2 определите параметры закона (2) для а) планет земной группы, б) планет-гигантов, в) ледяных планет-карликов. Представьте на графиках полученные линейные зависимости и точки, соответствующие планетам. Вычислите абсолютные и относительные ошибки определения гелиоцентрических расстояний планет с помощью законов Шмидта. Попытайтесь дать прогноз относительно вакантных орбит планет-карликов. (15 баллов).

Планеты земн. группы		Планеты-гиганты		Планеты-карлики
Название	$r_P$ , а.е.	Название	$r_P$ , а.е.	Название	$r_P$ , а.е.
Меркурий	0.387	Юпитер	5.204	Плутон	39.264
Венера	0.723	Сатурн	9.582	Хаумеа	43.218
Земля	1.000	Уран	19.189	Макемаке	45.715
Марс	1.520	Нептун	30.071	Эрида	67.958

Таблица 2: планеты Солнечной системы трех основных групп и соответствующие гелиоцентрические расстояния до планет.

Отговори

Решение

Прежде всего определим порядковый номер планеты (в порядке их удаленности от Солнца) в каждой планетной группе и вычислим величину $\sqrt{r_n}$ :

Планеты земн. группы			Планеты-гиганты			Планеты-карлики
n	Название	$\sqrt{r_n}$ , а.е. $^{1/2}$	n	Название	$\sqrt{r_n}$ , а.е. $^{1/2}$	n	Название	$\sqrt{r_n}$ , а.е. $^{1/2}$
1	Меркурий	0.622	1	Юпитер	2.281	1	Плутон	6.283
2	Венера	0.850	2	Сатурн	3.095	2	Хаумеа	6.574
3	Земля	1.000	3	Уран	4.381	3	Макемаке	6.761
4	Марс	1.234	4	Нептун	5.484	4	Эрида	8.249

Таблица 4: планеты Солнечной системы трех основных групп, их порядковые номера в группе и величины $\sqrt{r_n}$ .

Представим полученные результаты в виде графиков (см. рис. 13.a)-в). Из графиков видно, что в случае планет земной группы и планет-гигантов все точки, соответствующие данным планетам лежат почти на одной прямой. В случае планет-карликов, точки, соответствующие Плутону, Хаумеи, Макемаке лежат фактически на одной прямой, вот точка, соответствующая Эриде лежит существенно выше указанной прямой. Данному факту можно дать два альтернативных объяснения:

Эрида может входить в другую, неизвестную группу планет (подобную другим группам) и потому не обязана лежать на одной прямой с остальными планетами-карликами.
Если Эрида все-таки принадлежит данной группе (что подразумевается в условии задачи), то ее порядковый номер $n_E$ должен быть существенно больше "4". Последний также подлежит определению. А орбиты с порядковыми номерами $4, 5, 6, .., n_E - 1$ должны быть вакантными.

Три точечных графика √r_n (а.е.) от n = 1…4: а) планеты земной группы (значения от 0.6 до 1.2), б) планеты-гиганты (от 2.3 до 5.5), в) планеты-карлики (от 6.3 до 8.2; четвертая точка, Эрида, заметно выше остальных). — Рис. 13: Графики зависимости величины $\sqrt{r_n}$ от порядкового номера планеты для а) планет земной группы, б) планет-гигантов, в) планет-карликов.

Суть метода наименьших квадратов (МНК) заключается в нахождении коэффициентов $a, b$ линейной зависимости (53), при которых функция двух переменных $a$ и $b$

F(a, b) = \sum_{n=1}^{N} (\sqrt{r_n} - (a + b\, n))^2

принимает минимальное значение (здесь $N$ – максимальное значение номера планеты в группе). То есть, при данных $a$ и $b$ сумма квадратов отклонений исходных данных от найденной прямой будет наименьшей.

Решение данной задачи сводится к решению задачи на экстремум для функции двух переменных. Для этого вычисляем частные производные от от функции $F(a, b)$ по $\sqrt{r_n}$ и $n$ и приравниваем их к нулю:

\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\partial F(a, b)}{\partial a} = 0, \\ \dfrac{\partial F(a, b)}{\partial b} = 0, \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} -2 \displaystyle\sum_{n=1}^{N} (\sqrt{r_n} - (a + b\, n)) = 0, \\ -2 \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n (\sqrt{r_n} - (a + b\, n)) = 0 \end{array} \right\} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} a\, N + b \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n = \displaystyle\sum_{n=1}^{N} \sqrt{r_n}, \\ a \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n + b \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n^2 = \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n\, \sqrt{r_n}, \end{array} \right\}

Решаем полученную систему линейных уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера), получаем формулы для нахождения коэффициентов $a, b$ по МНК.

\left\{ \begin{array}{c} b = \dfrac{N \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n \sqrt{r_n} - \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n \displaystyle\sum_{n=1}^{N} \sqrt{r_n}}{N \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n^2 - \left(\displaystyle\sum_{n=1}^{N} n\right)^2}, \\ a = \dfrac{1}{N} \left(\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \sqrt{r_n} - b \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n\right), \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} b = \dfrac{N \displaystyle\sum_{n=1}^{N} n \sqrt{r_n} - \dfrac{1}{2} N (N + 1) \displaystyle\sum_{n=1}^{N} \sqrt{r_n}}{\dfrac{1}{6} N^2 (N + 1)(2N + 1) - \dfrac{1}{4} N^2 (N + 1)^2}, \\ a = \dfrac{1}{N} \left(\displaystyle\sum_{n=1}^{N} \sqrt{r_n} - \dfrac{b}{2} N (N + 1)\right), \end{array} \right\} \qquad (54)

Можно строго доказать, что при данных и $b$ функция $F(a, b)$ принимает минимальное значение (см. например, Справочник по высшей математике Выгодского).

Три графика √r_n (а.е.) от n с точками планет и красными прямыми законов Шмидта: а) планеты земной группы, n от 1 до 4; б) планеты-гиганты, n от 1 до 4; в) планеты-карлики, n от 1 до 9 (точки n = 1, 2, 3 и Эрида при n = 9 лежат на прямой). — Рис. 14: графики зависимости величины $\sqrt{r_n}$ от порядкового номера планеты (законы Шмидта) для а) планет земной группы, б) планет-гигантов, в) планет-карликов (скорректированная версия).

Выполняя вычисления коэффициентов по полученным формулам, в результате получаем следующие законы планетных расстояний Шмидта для

\left. \begin{array}{ll} \text{а) планет земной группы} & \sqrt{r_n} = 0.4302 + 0.1986\, n, \\ \text{а) планет-гигантов} & \sqrt{r_n} = 1.0872 + 1.0892\, n, \\ \text{а) планет-карликов} & \sqrt{r_n} = 6.0618 + 0.2389\, n, \end{array} \right\} \qquad (55)

Результат для планет карликов, получен по данным трех планет: Плутона, Хаумеи, Макемаке.

Для определения порядкового номера Эриды, соответствующего данному закону, необходимо определить решить следующее линейное уравнение относительно $n$ :

\sqrt{r_E} = 6.0618 + 0.2389\, n_E, \ \Rightarrow \ n_E = [9.156] = 9.

Проведем графическое сравнение законов Шмидта и точек, соответствующих планетам (см. рис. 14).

Далее вычислим абсолютные и относительные ошибки определения гелиоцентрических расстояний планет с помощью законов Шмидта согласно следующим формулам:

\Delta r_n = |r_n^{(T)} - r_n^{(Sh)}|, \ \ \varepsilon_{r_n} = \frac{\Delta r_n}{r_n^{(T)}} \times 100\%,

здесь $r_n^{(T)}$ – истинные гелиоцентрические расстояния до планет, $r_n^{(Sh)}$ – те же величины, вычисленные согласно закону Шмидта. Результаты расчетов представлены в таблицах 5, 6.

Из таблиц видно, что в большинстве случаев ошибка определения расстояния с помощью законов (55) в среднем составляет $1 \div 5\%$ . На фоне остальных сильно выделяется Сатурн, у которого ошибка определения составляет 11.3%.

n	Название	$r_n^T$ , а.е.	$r_n^{Sh}$ , а.е.	$\Delta r_n$ , а.е.	$\varepsilon_{r_n}$ , %
Планеты земной группы
1	Меркурий	0.387	0.395	0.008	2.16
2	Венера	0.723	0.685	0.039	5.34
3	Земля	1.000	1.053	0.053	5.28
4	Марс	1.520	1.500	0.024	1.56
Планеты-гиганты
1	Юпитер	5.204	4.737	0.468	8.98
2	Сатурн	9.582	10.664	1.082	11.30
3	Уран	19.189	18.965	0.224	1.17
4	Нептун	30.071	29.638	0.433	1.44

Таблица 5: значения гелиоцентрических расстояний, полученные из наблюдений $r_n^{(T)}$ , предсказываемые законом Шмидта $r_n^{(Sh)}$ , абсолютные и относительные ошибки их определения с использованием данного закона для планет земной группы и планет-гигантов.

n	Название	$r_n^T$ , а.е.	$r_n^{Sh}$ , а.е.	$\Delta r_n$ , а.е.	$\varepsilon_{r_n}$ , %
Планеты-карлики
1	Плутон	39.482	39.698	0.216	0.55
2	Хаумеа	43.218	42.766	0.452	1.04
3	Макемаке	45.715	45.948	0.233	0.51
4	?	?	49.245	–	–
5	?	?	52.654	–	–
6	?	?	56.178	–	–
7	?	?	59.816	–	–
8	?	?	63.569	–	–
9	Эрида	68.0474	67.436	1.038	1.53

Таблица 6: значения гелиоцентрических расстояний, полученные из наблюдений $r_n^{(T)}$ , предсказываемые законом Шмидта $r_n^{(Sh)}$ , абсолютные и относительные ошибки их определения с использованием данного закона для планет-карликов.

В случае планет-карликов пять орбит с порядковыми номерами $n = 4, 5, 6, 7, 8$ являются вакантными. Ученым сегодня не известны карликовые планеты с указанными средними гелиоцентрическими расстояниями (однако, их могут занимать транснептуновые объекты, определение которых мы оставляем читателю).

Ответ: представлен системой (55), в таблицах 5-6 и на рис. 14. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf