Самара 2015, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 17. Определение ускорения свободного падения для планеты-шара

• 0.345 %

  $\varepsilon_g(0) = \chi \cdot 100\% = 0.345\%$; $g(r, \varphi)$ — выражения (37), (49), (50) и рис. 12 решения.

Для характеристики величины и направления силового поля тяготения неподвижного небесного тела (планеты) в конкретной точке пространства вводят векторную величину – напряженность гравитационного поля ($\vec{E}$), определяемую отношением силы, действующей со стороны данного гравитирующего тела на пробное тело, помещенное в данную точку пространства, к массе $m$ пробного тела, т.е.

Для напряженности $\vec{E}$ гравитационного поля справедлива теорема Гаусса$^2$, которая формулируется так: поток вектора напряженности гравитационного поля через воображаемую замкнутую поверхность $S$ равен полной массе $\mathfrak{M}_S$, находящейся внутри данной поверхности, домноженной на коэффициент $-4\,\pi\, G$, т.е.

В качестве замкнутой поверхности выберем воображаемую сферу радиуса $r$ c центром, совпадающим с центром планеты. Вычислим поток напряженности через заданную поверхность. Для этого учтем, что планета является однородной, а ее форма – шар, обладающая сферической симметрией. На больших расстояниях от планеты, последняя видится материальной точкой, силовые линии которой, согласно (34) и закону всемирного тяготения направлены вдоль радиуса планеты. Причем такая картина должна быть на любых расстояниях от планеты, поскольку, очевидно, нет прочих причин, ответственных за отклонение их направлений от радиального. Следовательно, вектор $\vec{E}$ поля тяготения планеты всегда направлен вдоль радиуса планеты, к ее центру (см. рис. 11.а). Определим скалярное произведение векторов под интегралом правой части (35).

здесь $\vec{n}$ – внешняя нормаль к элементарной площадке $dS$ рассматриваемой сферы.

Заметим, что все точки воображаемой сферы равноправны, и потому, очевидно, напряженность поля тяготения планеты во всех ее точках будет одинаковой. В итоге интеграл в левой части (35) представляется в виде:

учитывая, что площадь поверхности сферы радиуса $r$ есть

в итоге поток вектора $\vec{E}$ представляется в виде:

Рассмотрим случай внутренней точки планеты. Определим напряженность на поверхности сферы радиуса $r_1$ (см. 11.а). Здесь поток вектора $\vec{E}$ определяется выражением (36) при $r = r_1$. Масса планетного вещества, заключенного внутри данной сферы есть

В результате напряженность гравитационного поля на расстоянии $r_1$ от центра планеты (внутри нее) определяется выражением вида:

здесь $E_0$ – напряженность гравитационного поля у поверхности планеты. Определим поле $\vec{E}$ в случае внешней точки планеты, а именно на расстоянии $r_2$ от центра планеты (см. рис. 11.а). В данном случае масса $\mathfrak{M}_S = \mathfrak{M}$. Тогда

В итоге напряженность поля тяготения планеты представляется в виде:

Ускорение свободного падения ($g$) – ускорение, приобретаемое телом под действием силы тяжести, то есть геометрической суммы гравитационной силы притяжения планеты и сил инерции, обусловленных вращением планеты. В соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение свободного падения равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.

Рассмотрим взаимодействие планеты с пробным телом (далее материальная точка А) массы $m$, находящимся на его поверхности на широте $\varphi$ (см. рис. 11.б). В системе отсчета, жестко связанной с телом планеты, точка А неподвижна, а сама система является неинерциальной, поскольку участвует во вращательном движении вместе с планетой относительно далеких звезд. На материальную точку A на поверхности планеты действуют 3 силы (см. рис. 11.б):

• сила тяготения $\vec{F}_{\mathrm{at}}$, направленная к центру планеты,
• центробежная сила $\vec{F}_{\mathrm{c}}$, направленная от оси вращения планеты,
• сила реакции поверхности планеты $\vec{N}$.

Поскольку относительно тела планеты и, следовательно, выбранной системы отсчета материальная точка A покоится, то сумма всех выше указанных сил должна быть рана нулю (согласно второму закону Ньютона):

С другой стороны, согласно третьему закону Ньютона, для тела, покоящегося относительно горизонтальной поверхности имеет место:

где $\vec{P}$ – вес тела. Последний, как известно, в состоянии относительного покоя материальной точки равен силе тяжести, действующей на точку А, т.е.

Центробежную силу можно определить выражением вида:

где $\omega = \frac{2\pi}{T}$ – угловая скорость вращения планеты; $\vec{r'} = \overrightarrow{O_3 A}$. Сила тяготения $\vec{F}_{\mathrm{at}}$ определяется выражением (34), причем $\vec{r} = \overrightarrow{OA}$. Из уравнений (38) – (40) следует уравнение вида:

при этом модуль ускорения свободного падения есть

Воспользуемся далее широтой $\varphi$ – углом между плоскостью экватора и радиусом-вектором, проведенным из центра шара к данной точке (см. рис. 11.б). Тогда

Т.о. при $r \le \mathfrak{R}$ ускорение свободного падения представляется в виде:

Таким образом, ускорение свободного падения в общем случае зависит от расстояния до центра планеты и от широты местонахождения материальной точки А. Рассмотрим ряд частных случаев:

• ускорение свободного падения у поверхности планеты ($r = \mathfrak{R}$):

• Безразмерный параметр $\chi$ определяется отношением величин сил $\vec{F}_{\mathrm{c}}$ (определенной на экваторе) и $\vec{F}_{\mathrm{at}}$. Параметр $\chi$ для любой классической планеты Солнечной системы есть величина, удовлетворяющая условию $\chi \ll 1$, следовательно, $\chi^2 \ll \chi$. Тогда для ускорения свободного падения справедливо следующее приближенное выражение

Учитывая также тот факт, что $\cos^2\varphi \le 1$ и приближение вида $(1+x)^{\alpha} \approx 1+\alpha\, x$, при $|x| \ll 1$, последний результат можно редуцировать к виду:

Вне тела планеты ($r > \mathfrak{R}$) силы ее реакции, принуждающие к вращению, отсутствует, следовательно, центробежная сила отсутствует, тогда $g(r) = E(r)$. В итоге ускорение свободного падения есть

Рассмотрим случай Земли и определим $\varepsilon_g(\varphi)$ на ее поверхности в зависимости от широты $\varphi$:

Искомая кривая представлена на рис. 12.

В частности, при переходе с полюсов на экватор имеем:

Ответ: представлен выражениями (37), (49), (50), (52) и рис. 12. ($\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

$^2$Отметим, что данная теорема является эффективным инструментом для расчета напряженности гравитационного поля $\vec{E}$ физической системы, при условии, что последняя имеет зеркальную, цилиндрическую или сферическую симметрии в распределении массы вещества.