Самара 2015, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 16. Путешествие на капсуле HyperLoop сквозь центр Земли

• а) $V_{\max} = \sqrt{g_0\, \mathfrak{R}_{\oplus}} = 7.91$ км/c, достигается в центре Земли

• б) $a_{\max} = g_0 = 9.81$ м/c$^2$, достигается у поверхности Земли

• в) 42 мин

  В решении: $t_{\min}^{(\mathrm{c})} = \frac{1}{2} T = 0.70$ часа $\approx 42$ мин.

• г) 1

• д) 17

Определим потенциальную энергию капсулы массы $m$ в гравитационном поле планеты, находящуюся на расстоянии $r < \mathfrak{R}_{\oplus}$ ($\mathfrak{R}_{\oplus} = 6371$ км – средний радиус Земли). Как известно, потенциальная энергия капсулы на бесконечно большом расстоянии равна нулю, а у поверхности планеты:

$\mathfrak{M}_{\oplus}, \mathfrak{R}_{\oplus}$ – масса и радиус Земли; $g_0 = 9.81$ м/c$^2$ – ускорение свободного падения у поверхности планеты.

Как будет показано в задаче № 17, сила притяжения, действующая на капсулу на расстоянии $r < \mathfrak{R}_{\oplus}$ от центра планеты, представляется в виде:

здесь $\vec{r}$ – геоцентрический радиус-вектор капсулы. Работа, совершаемая данной силой по перемещению капсулы c поверхности планеты до точки (с радиусом-вектором $\vec{r}$) положительна и равна

C другой стороны данную работу можно представить в виде изменения потенциальной энергии, взятой со знаком «-»:

Приравнивая правые части двух последних уравнений в результате получаем формулу для искомой потенциальной энергии:

Согласно условию задачи диссипативные силы отсутствуют, то выполняется закон сохранения энергии. Запишем его для капсулы в двух токах: на поверхности планеты и на расстоянии $r$ от центра:

Очевидно, что скорость капсулы достигает максимального значения – первой космической скорости ($V_I$) при $r = 0$ (в центре Земли):

б) Запишем второй закон Ньютона для капсулы в терминах модулей:

Очевидно, что максимальное ускорение капсула приобретает у поверхности Земли (при $r = \mathfrak{R}_{\oplus}$) и оно равно

в) Запишем второй закон Ньютона для капсулы в проекциях на направление геоцентрического радиуса-вектора капсулы:

Последнее уравнение является уравнением гармонических колебаний вида:

где $\omega_0$ – собственная частота колебаний. Из сопоставления двух последних уравнений приходим к уравнению вида:

Т.о. капсула в трубопроводе (шахте), если ее не останавливать, будет совершать гармонические колебания между двумя диаметральными точками поверхности Земли с периодом $T$, очевидно, равным периоду обращения низкоорбитального ИСЗ вокруг Земли со скоростью $V_I$.

Следовательно, минимальное время на преодоление диаметра Земли будет равно

Т.о. всего лишь 42 минуты необходимо пассажирам такой капсулы, чтобы оказаться на другой стороне Земли.

г) Минимальный промежуток времени ($t_{\min}^{(\mathrm{s})}$), отделяющий моменты прохождения над данными точками Земли, низкоорбитального ИСЗ, очевидно, равен $t_{\min}^{(\mathrm{s})} = \frac{1}{2} T$, следовательно,

д) Максимальное количество полных рейсов ("туда-обратно") – $N_{\max}$, которые может сделать капсула за одни сутки есть

Ответ: a) $V_{\max} = \sqrt{g_0\, \mathfrak{R}_{\oplus}} = 7.91$ км/c, достигается в центре Земли; б) $a_{\max} = g_0 = 9.81$ м/c$^2$, достигается у поверхности Земли; в) $t_{\min}^{(\mathrm{c})} = \frac{1}{2} T = 0.70$ часа $\approx 42$ мин; г) $t_{\min}^{(\mathrm{s})}/t_{\min}^{(\mathrm{c})} = 1$; д) $N_{\max} = \left[\frac{24\,\text{часа}}{T}\right] = 17$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).