Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 15. Область прямой видимости и объектив камеры StratoSail

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 13 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. С использованием условия и результатов предыдущей задачи определите

а) минимально и максимально возможную дальность прямой видимости с летательного аппарата (ЛА) StratoSail (радиус Марса $\mathfrak{R}_M = 3396$ км);

б) минимально и максимально возможную долю (в %) от площади поверхности Марса, которую составляет область прямой видимости с летательного аппарата StratoSail;

в) максимальный угловой диаметр, под которым будет виден баллон с поверхности Марса; во сколько раз полученное значение отличается от углового диаметра Солнца при наблюдениях с поверхности планеты (при этом $[D_{\odot}^{(\oplus)}]'' = 32'$ – угловой диаметр Солнца для наблюдателя на Земле, $r_M = 1.52$ а.е. – гелиоцентрические расстояние Марса)?

г) минимальный диаметр объектива зеркальной фотокамеры, необходимого для разрешения объектов поверхности планеты с поперечником $d_{\min} = 3$ см и более;

д) минимальное оптическое увеличение камеры, чтобы данные объекты можно было рассмотреть через окуляр камеры человеческим глазом? Разрешающую способность глаза принять равной $\beta''_y = 100''$ . (13 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $d_{\min} = 10$ см, $\beta''_y = 100''$ , $\mathfrak{R}_M = 3396$ км.

Найти: $r_{\min}, r_{\max}$ – ? $\eta_{\min}, \eta_{\max}$ – ? $D''_{b\,\max}$ , $D''_{\odot}/D''_b$ – ? $D_{\min}^{(\mathrm{Ob})}, \Gamma_{\min}$ – ?

а) Рассмотрим физическую систему – Марс, представляемый шаром, и воздушный шар над его поверхностью (точка А). Для него "объектом на горизонте" будет точка B (см. рис. 10). В итоге имеем прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ , для которого по теореме Пифагора:

AC^2 = AB^2 + BC^2, \ \Rightarrow \ (\mathfrak{R}_M + h)^2 = r^2 + \mathfrak{R}_M^2,

Преобразуем последнее выражение

\mathfrak{R}_M^2 + h^2 + 2\mathfrak{R}_M h = r^2 + \mathfrak{R}_M^2, \ \Rightarrow r = \sqrt{2\mathfrak{R}_M h + h^2}.

Поскольку низшая точка летательного аппарата находится на высоте $h_p = 2$ км, а верхняя точка – на высоте $h_b = 15$ км, то минимальная и максимальная дальность прямой видимости определяются выражениями вида:

r_{\min} = \sqrt{2\mathfrak{R}_M h_p + h_p^2} = 116.6\,\text{км}, \ \ r_{\max} = \sqrt{2\mathfrak{R}_M h_b + h_b^2} = 319.5\,\text{км}.

б) Часть поверхности Марса, доступная прямым наблюдениям с высоты $h$ , есть шаровой сектор (выделен красным цветом на рис. 10). Его площадь можно вычислить по формуле (см., например, Справочник по высшей математике Выгодского):

S_{sec} = 2\pi\mathfrak{R}_M^2 (1 - \cos\alpha). \qquad (25)

Голубой круг (Марс) с центром C; над верхней точкой круга точка A на высоте h; касательная из A к кругу в точке B длиной r; радиус CB подписан R_M, угол α при центре C между CA и CB; сферический сегмент между вершиной круга и точкой B закрашен красным. — Рис. 10: к определению дальности прямой видимости.

где $\alpha$ – угол между направлениями на летательный аппарат и на объект на горизонте, если смотреть из центра Марса. Полная площадь поверхности планеты есть

S_{sphere} = 4\pi\mathfrak{R}_M^2. \qquad (26)

Следовательно, доля $\eta$ есть отношение площадей сектора и всей поверхности сферы:

\eta = \frac{S_{sec}}{S_{sphere}} \times 100\% = \frac{1}{2}(1 - \cos\alpha) \times 100\%. \qquad (27)

Из рисунка видно, что

\cos\alpha = \frac{\mathfrak{R}_M}{\mathfrak{R}_M + h}, \ \Rightarrow \ \eta = \frac{1}{2}\left(\frac{h}{\mathfrak{R}_M + h}\right) \times 100\%.

В результате минимальная и максимальная доли от площади поверхности всей планеты есть

\eta_{\min} = \frac{1}{2}\left(\frac{h_p}{\mathfrak{R}_M + h_p}\right) \times 100\% = 0.03\%, \ \ \eta_{\max} = \frac{1}{2}\left(\frac{h_b}{\mathfrak{R}_M + h_b}\right) \times 100\% = 0.22\%. \qquad (28)

в) Угловой диаметр баллона можно определить как

D''_b = 2\frac{R}{\Delta}\, 206265'',

здесь $\Delta$ – расстояние от баллона до точки на поверхности планеты, из которой ведется его наблюдение. Очевидно, что $D''_b$ будет максимальным, если $\Delta$ минимально, т.е. $\Delta = h_b$ (т.е. для воображаемого наблюдателя баллон должен находиться в зените). Тогда

D''_{b\,\max} = 2\frac{R}{h_b}\, 206265'' = 990'' = 16.5'

Угловой диаметр Солнца для наблюдателя на Марсе равен

D''_{\odot} = [D_{\odot}^{(\oplus)}]'' \left(\frac{r_{\oplus}}{r_M}\right) = 32 \left(\frac{1}{1.52}\right) = 21',

здесь $r_{\oplus} = 1$ а.е. – гелиоцентрическое расстояние Земли. Тогда

D''_{\odot}/D''_{b\,\max} = 1.27.

г) Разрешающую способность зеркальной камеры можно оценить с использованием выражения для одноименного параметра рефлектора (зеркального телескопа):

\beta'' = \frac{120''}{D_{\mathrm{Ob}}[\text{мм}]}, \ \Rightarrow \ D_{\mathrm{Ob}} = \frac{120''}{\beta''}. \qquad (29)

Чтобы разрешить в принципе объекты с $d = 10$ см с ЛА, необходимо. чтобы их угловой диаметр $d''$ был не меньше $\beta''$ , т.е.

d'' \ge \beta'',

в предельном случае имеем

D_{\mathrm{Ob}} = \frac{120''}{d''}.

В свою очередь

d'' = \frac{d}{\Delta}\, 206265'',

здесь $\Delta$ – расстояние от камеры до предмета. Чтобы диаметр объектива был минимальным, необходимо, чтобы $d''$ было максимальным, тогда $\Delta = h_b$ , и

D_{\min}^{(\mathrm{Ob})} = \frac{120''}{206265''} \frac{h_b}{d} \approx 39\,\text{мм}.

д) Оптическое увеличение камеры будет определяться отношением углового диаметра ( $d''_{\mathrm{cam}}$ ) образа предмета, даваемого камерой, к величине углового диаметра предмета, наблюдаемого невооруженным глазом:

\Gamma = \frac{d''_{\mathrm{cam}}}{d''}.

Чтобы данные объекты можно было рассмотреть через окуляр камеры человеческим глазом, необходимо чтобы $d''_{\mathrm{cam}} \ge \beta''_y$ , в предельной ситуации имеем

\Gamma_{\min} = \frac{\beta''_y}{d''} = \frac{\beta''_y}{206265''} \frac{h_p}{d} = 32.3^{\times} < 2D_{\mathrm{Ob}}[\text{мм}],

последнее условие, указывает на принципиальную возможность наблюдения объекта в данную камеру.

Ответ: а) $r_{\min} = \sqrt{2\mathfrak{R}_M h_p + h_p^2} = 116.6$ км, $r_{\max} = \sqrt{2\mathfrak{R}_M h_b + h_b^2} = 319.5$ км; б) $\eta_{\min} = \frac{1}{2}\left(\frac{h_p}{\mathfrak{R}_M + h_p}\right) \times 100\% = 0.03\%$ , $\eta_{\max} = \frac{1}{2}\left(\frac{h_b}{\mathfrak{R}_M + h_b}\right) \times 100\% = 0.22\%$ ; в) $D''_{b\,\max} = 990'' = 16.5'$ , $D''_{\odot}/D''_{b\,\max} = 1.27$ ; г) $D_{\min}^{(\mathrm{Ob})} = \frac{120''}{206265''} \frac{h_b}{d} \approx 39$ мм; д) $\Gamma_{\min} = \frac{\beta''_y}{d''} = \frac{\beta''_y}{206265''} \frac{h_p}{d} = 32.3^{\times}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf