Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 14. Проект StratoSail для исследования Марса

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 12 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Учеными американской корпорации Global Aerospace Corporation был предложен в 2004 году проект воздушного шара StratoSail для исследования атмосферы и поверхности Марса. Система представляет собой

баллон из герметичного прочного тонкого материала (с поверхностной плотностью $\sigma = 15$ г/м $^2$ ), имеющего форму шара и наполненного гелием под давлением, не меньше чем в $\eta = 2$ раза, превосходящим давление атмосферы на высоте, где находится баллон (для гарантированного раскрытия шара при запуске);
гондолы с массой $M_g = 250$ кг, содержащей основную часть научного оборудования, подвешенной на гибком тросе;
планера – легкого дрона, закрепленного на нижнем конце легкого длинного троса, общая масса которых $M_p = 150$ кг. Дрон предназначен для управления полетом воздушным шаром и должен располагаться на высоте $h_p = 2$ км.

С использованием результатов задач № 9,10,13, определите

а) максимально возможные массу и радиус баллона, если суммарная масса баллона, гондолы и планера с тросом не должна превышать $M_{\max} = 645$ кг для их успешной доставки на Марс;

б) высоту, на которой должен находиться баллон в режиме стационарного воздухоплавания в атмосфере красной планеты;

в) массу гелия, необходимую для заполнения баллона до указанного давления;

г) длину троса, чтобы планер пребывал на указанной высоте;

д) массу и диаметр троса (круглого сечения), если последний сделан из стали с массовой плотностью $\rho_{st} = 7900$ кг/м $^3$ и предельным механическим напряжением $\sigma_{\mathrm{br}} = 5$ МПа; трос должен выдерживать перегрузку $\chi = 5$ , обусловленную планером и его взаимодействием с ветром ( $g_0 = 3.71$ м/c $^2$ – ускорение свободного падения у поверхности Марса);

е) максимально допустимую массу дрона $m_d$ . (12 баллов).

Отговори

Решение

а) Определим максимально возможные массу и радиус баллона (без гелия): согласно условию, полная масса баллона, гондолы и планера есть

Схема аэростата StratoSail: оранжевый шар с подписью «Гелиевый баллон», под ним на вертикальном тросе прямоугольник «Гондола», внизу голубой крестообразный «Планер»; справа стрелка ℓ — расстояние от центра баллона до планера. — Рис. 9: к определению структуры воздушного шара StratoSail.

M_{\max} = M_{\mathrm{g}} + M_{\mathrm{p}} + M_{\mathrm{sh}}, \ \Rightarrow \ M_{\mathrm{sh}} = M_{\max} - M_{\mathrm{g}} - M_{\mathrm{p}} = 245\,\text{кг},

с другой стороны

M_{\mathrm{sh}} = \sigma \cdot 4\pi\, R^2, \ \Rightarrow \ R = \sqrt{\frac{M_{\mathrm{sh}}}{4\pi\, \sigma}} = 36\,\text{м}.

б) для определения высоты воздухоплавания необходимо предварительно определить массовую плотность ( $\rho_a$ ) атмосферы Марса на данной высоте. Для этого запишем условие плавания данного летательного аппарата:

\rho_{\mathrm{a}} g V_b = \rho_{\mathrm{He}} g V_b + M_{\max} g_0, \ \Rightarrow \ (\rho_{\mathrm{a}} - \rho_{\mathrm{He}}) V_b = M_{\max}, \qquad (22)

здесь $V_b = \frac{4}{3}\pi R^3$ – объем баллона. Далее воспользуемся условием

p_{\mathrm{He}} \ge \eta \cdot p_{\mathrm{a}},

а также уравнением Менделеева-Клапейрона для атмосферного газа и гелия в виде:

p_{\mathrm{He}} = \frac{\rho_{\mathrm{He}}}{M_{\mathrm{He}}} \mathcal{R} T, \ \ p_{\mathrm{a}} = \frac{\rho_{\mathrm{a}}}{M_{\mathrm{a}}} \mathcal{R} T, \ \Rightarrow

\frac{p_{\mathrm{He}}}{p_{\mathrm{a}}} = \left(\frac{\rho_{\mathrm{He}}}{\rho_{\mathrm{a}}}\right) \left(\frac{M_{\mathrm{a}}}{M_{\mathrm{He}}}\right) = \eta, \ \Rightarrow \ \rho_{\mathrm{He}} = \eta\, \rho_{\mathrm{a}} \left(\frac{M_{\mathrm{He}}}{M_{\mathrm{a}}}\right). \qquad (23)

Подставляя (23) в (23) в итоге получаем

\rho_{\mathrm{a}} = \frac{3}{4\,\pi} \frac{M_{\max}}{R^3} \left[1 - \eta \left(\frac{M_{\mathrm{He}}}{M_{\mathrm{a}}}\right)\right]^{-1} = 0.0040\,\text{кг/м}^3. \qquad (24)

Из рис. 8 видно, что данное значение плотности достигается на высоте $h_b = 15.0$ км.

в) определим массу гелия, содержащегося в баллоне:

m_{\mathrm{He}} = \rho_{\mathrm{He}}\, V_b = \frac{4}{3}\pi\, R^3\, \eta\, \rho_{\mathrm{a}} \left(\frac{M_{\mathrm{He}}}{M_{\mathrm{a}}}\right) = 142\,\text{кг}.

г) Длина троса, тогда должна быть равной

\ell = h_b - h_p = 13\,\text{км}.

д) Определим диаметр и массу троса с учетом, что в верхней точке троса (точке крепления к баллону) его механическое напряжение не должно быть больше $\sigma_{\mathrm{br}}$ , при этом трос должен выдерживать перегрузку равную $\chi$ , тогда в предельной ситуации:

\sigma_{\mathrm{br}} S_c = \chi M_p g_0, \ \Rightarrow \ d_c = \sqrt{\frac{4\,\chi M_p g_0}{\pi\, \sigma_{\mathrm{br}}}} = 0.84\,\text{мм}

здесь мы учли, что площадь поперечного сечения троса $S_c = \pi\, d_c^2/4$ . Тогда масса троса есть

m_c = \rho_{\mathrm{st}}\, S_c\, \ell = 57\,\text{кг}.

е) Теперь легко вычислить максимально допустимую массу дрона

m_d = M_p - m_c = 93\,\text{кг}.

Ответ: а) $M_{\mathrm{sh}} = M_{\max} - M_{\mathrm{g}} - M_{\mathrm{p}} = 245$ кг, $R = \sqrt{\frac{M_{\mathrm{sh}}}{4\pi\, \sigma}} = 36$ м; б) $h_b = 15.0$ км; в) $m_{\mathrm{He}} = \frac{4}{3}\pi\, R^3\, \eta\, \rho_{\mathrm{a}} \left(\frac{M_{\mathrm{He}}}{M_{\mathrm{a}}}\right) = 142$ кг; г) $\ell = h_b - h_p = 13$ км; д) $d_c = \sqrt{\frac{4\,\chi M_p g_0}{\pi\, \sigma_{\mathrm{br}}}} = 0.84$ мм, $m_c = 57$ кг; е) $m_d = M_p - m_c = 93$ кг. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf