Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 13. Определение зависимости плотности и давления атмосферного газа от высоты

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 11 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. С использованием модели идеального газа определите зависимости давления ( $p$ ) и плотности ( $\rho$ ) атмосферы планеты-шара (со сферически-симметричным распределением вещества, с массой $\mathfrak{M}$ и радиусом $\mathfrak{R}$ ) от высоты ( $h$ ) над ее поверхностью, при условии $h \ll \mathfrak{R}$ . В расчетах следует полагать, что температура $T$ и химический состав атмосферы не зависят от высоты. Доказать, что непосредственно у поверхности планеты искомые зависимости есть линейные функции высоты $h$ . С использованием результатов задач № 9, 10, получите зависимость $\rho(h)$ для Марса на интервале $0 \div 25$ км. (11 баллов).

Отговори

Решение

Схема: оси Y (вверх) и X (вправо) с началом 0 на заштрихованной поверхности; прямоугольный столб газа, в нем закрашенный слой между уровнями y и y+dy толщиной dy с подписью dm; справа у границ слоя подписи p и p+dp. — Рис. 7: к определению плотности газа.

Рассмотрим вертикальный столб идеального газа с площадью основания $S$ . Выберем декартову систему координат так, как показано на рис. 7. Рассмотрим бесконечно тонкий горизонтальный слой газа толщины $dy$ , находящийся на расстоянии $y$ от поверхности планеты. Данный слой имеет массу $dm$ . Поскольку слой находится в состоянии покоя относительно поверхности планеты и, следовательно, относительно данной системы отсчета, то сумма сил приложенных к слою, равна нулю:

\vec{F}_{p\,1} + \vec{F}_{p\,2} + dm\vec{g} = 0, \qquad (15)

где $\vec{F}_{p\,1}$ , $\vec{F}_{p\,2}$ – силы давления, действующие со стороны ниже и выше лежащих слоев газа соответственно; $g$ – ускорение свободного падения у поверхности планеты, определяемое выражением вида:

g_0 = \frac{G\, \mathfrak{M}}{\mathfrak{R}^2}.

Спроецируем данное уравнение на координатную ось $OY$ .

F_{p\,1} - F_{p\,2} - dmg = 0. \qquad (16)

Учтем, что силы давления и тяжести можно представить в виде:

F_{p\,1} = pS, \ \ F_{p\,2} = (p + dp)S, \ \ dmg = \rho S dy \cdot g,

где $p$ – давление газа на высоте $y$ , $p + dp$ – давление газа на высоте $y + dy$ . Подставляя полученные выражения в уравнение (16) в итоге получаем:

dp = -\rho g dy. \qquad (17)

Далее воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона в виде:

p = \frac{\rho}{M} \mathcal{R} T. \qquad (18)

По условию задачи температура атмосферы $T$ и химический состав атмосферы, а следовательно, и молярная масса $M$ – постоянные величины; кроме того, на высотах $h \ll \mathfrak{R}$ ускорение свободного падения $g$ можно полагать также не зависящим от высоты.

Подставим (18) в (17), в результате получаем:

\frac{1}{M} \mathcal{R} T d\rho = -\rho g dy, \ \Rightarrow \ \frac{d\rho}{\rho} = -\frac{M\, g\, dy}{\mathcal{R}\, T}.

Последнее дифференциальное уравнение можно проинтегрировать в конечных пределах:

\int_{\rho_0}^{\rho} \frac{d\rho'}{\rho'} = -\int_0^h \frac{M\, g}{\mathcal{R}\, T} dy, \ \Rightarrow \ \ln\left[\frac{\rho}{\rho_0}\right] = -\frac{M\, g\, h}{\mathcal{R}\, T}.

Используя свойство логарифма и экспоненциальной функции, приходим к известной барометрической формуле для плотности:

\exp\left[\ln\left[\frac{\rho}{\rho_0}\right]\right] = \exp\left[-\frac{M\, g\, h}{\mathcal{R}\, T}\right], \ \Rightarrow \ \rho = \rho_0 e^{-h/H}, \ \ \text{где} \ H = \frac{\mathcal{R}\, T}{M\, g}, \qquad (19)

где $\rho_0$ — массовая плотность атмосферы у поверхности планеты; величина $H$ называется шкалой высоты. Подставляя последнее выражение в уравнение (18), в результате получаем:

p = p_0 e^{-h/H}, \ \ \text{где} \ p_0 = \frac{\rho_0}{M} \mathcal{R} T. \qquad (20)

Последняя формула традиционно называется барометрической формулой.

Непосредственно у поверхности планеты, где $h \ll H$ (H составляет традиционно $\sim 5 \div 15$ км), можно воспользоваться приближением вида:

e^x \approx 1 + x, \ \ \text{при} \ x \ll 1,

График убывающей экспоненты: по горизонтали h, км от 0 до 25, по вертикали ρ, кг/м³ от 0.002 до 0.014; кривая начинается около 0.015 при h = 0 и спадает примерно до 0.0017 при h = 25 км. — Рис. 8: зависимость массовой плотности атмосферы Марса от высоты h, вычисленная согласно (19).

тогда давление и плотность атмосферы можно представить в виде:

\rho = \rho_0 \left(1 - \frac{h}{H}\right), \ \ p = p_0 \left(1 - \frac{h}{H}\right). \qquad (21)

Т.о. массовая плотность и давление атмосферного газа зависят от высоты по линейному закону.

В случае Марса шкала высоты равна $H = 11.35$ км. С использованием выражения (19) получен график зависимости массовой плотности атмосферы Марса от высоты на интервале $0 \div 25$ км (см. рис. 8).

Ответ: представлен выражениями (19)-(21) и рис. 8. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 11$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf