Самара 2015, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 12. Даты весенних равноденствий XXI века

• Самое позднее ВР в XXI веке — 21/03/2003, 01 час 01 мин; самое раннее — 19/03/2096, 13 часов 34 мин; в 2100 году — 20/03, 12 часов 50 мин. Причина расхождения с профессиональными расчетами — изменение продолжительности тропического года (нутация земной оси, эволюция гравитационных возмущений от Солнца и планет).

Прежде всего отметим, некоторые особенности наступления момента весеннего равноденствия (ВР). Как известно, разность между продолжительностью тропического и обычного (невисокосного) календарного года есть

Следовательно, каждый последующий невисокосный год наступление ВР происходит на промежуток времени $\Delta t_1$, позже момента предыдущего невисокосного года. При наступления високосного года момент смещается вперед на промежуток $\Delta t_1$, и при этом откатывается назад на сутки (поскольку добавляется 29 февраля). Следовательно, момент наступления ВР в 2016 году приходится на

Если все года с 2000 по 2099 разбить на четверки лет, в которых ведущий год – високосный, а замыкающий последний невисокосный (например, $\{2000, 2001, 2002, 2003\}$, $\{2004, 2005, 2006, 2007\}$, $\{2008, 2009, 20010, 2011\}$ и т.д.), то самый поздний момент надо искать среди последних невисокосных лет этих четверок, ибо здесь дата и время смещаются максимально вперед от момента ВР последнего високосного года. А самый ранний момент наступления ВР, очевидно, приходится на високосный год.

Таблица 2: Искомые даты и время наступления ВР в XXI веке.

Далее заметим, что в каждой такой четверке средняя продолжительность календарного года составляет 365.25 сут, что на

больше продолжительности тропического года. За те же 4 года, набежит разность между календарными и тропическими годами равная $\Delta t_3 = 4 \times \Delta t_2 = 45$ мин. Следовательно, наступление ВР каждый последующий високосный год происходит приблизительно на 45 минут раньше момента предыдущего високосного.

Согласно, общим принципам времяисчисления Григорианского календаря, последний високосный год в этом столетии будет 2096 год (2100 год будет невисокосным, поскольку количество сотен столетий "21" нацело не делится на "4"), с учетом выше сказанного именно в этот год момент наступления ВР будет самым ранним. Для этого учтем, что 2096 отстоит на 20 таких четырехлетий от 2016 года, следовательно

Теперь нетрудно вычислить момент наступления ВР в 2100 году, поскольку данный год невисокосный, то

Рассуждая аналогично предыдущему случаю, легко убедиться в том, что наиболее поздний момент в XXI веке наступления ВР приходится на 2003 год – последний невисокосный год в первом четырехлетии столетия. Далее заметим, что 2000 год первый високосный год первой четверки отстоит от 2016 года на 4 полных четырехлетия, тогда момент наступления ВР в 2000 году есть

Тогда момент наступления ВР в 2003 году есть

Сводка полученных нами результатов и результатов, полученных профессионалами и представленными в [1,2]$^1$ продемонстрированы в таблице 2. Из сравнения результатов следует, что они действительно различаются, причем с удалением рассматриваемого момента от настоящего времени ошибка настоящих результатов возрастает. Это обусловлено, изменением продолжительности тропического года в силу периодического характера нутации земной оси и временной эволюции гравитационных возмущений со стороны Солнца и планет. В настоящих расчетах это не было принято во внимание (но учтено профессионалами).

$^1$см. например, [1] http://www.astropixels.com/ephemeris/soleq2001.html, [2] http://ns1763.ca/equinox/vern1788-2211.html.

Ответ: искомые результаты представлены в таблице 2. Причина расхождения наших результатов и результатов профессионалов – изменение продолжительности тропического года в силу периодического характера нутации земной оси и временной эволюции гравитационных возмущений со стороны Солнца и планет, что не было принято во внимание в настоящих расчетах, но учтено профессионалами. ($\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).