Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 11. Минимальное время полной зарядки дрона NASA

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 9 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. C использованием результатов предыдущей задачи, а также рис. 3, определите минимальный промежуток времени $\Delta t_{\min}$ , необходимый для зарядки аккумуляторов, посредством солнечных батарей (с КПД $\eta_{sb} = 10\%$ ), которые будут установлены на боковые грани (предполагается, что рабочая поверхность батарей будет равна площади боковой грани) кубического контейнера, если свет от Солнца может падать лишь на две из четырех граней. Данного заряда должно хватить на 10 минут разведывательного полета с мощностью, превышающей минимальную в 1.5 раза. КПД электромеханического привода винта и аккумуляторов дрона составляет $\eta_v = 80\%$ . (9 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\eta_{sb} = 10\%$ , $\Delta t = 10$ мин, $N = 1.5\, N_{\min}$ , $\eta_v = 80\%$ .

Найти: $\Delta t_{\min}$ – ?

Вычислим полезную работу $A_{\text{п}}$ (затрачиваемую на разгон атмосферного воздуха и создания подъемной силы), которую должен совершить дрон в процессе своего полета в атмосфере Марса, в течение времени $\Delta t$ :

A_{\text{п}} = N\, \Delta t = 99000\,\text{Дж}.

Работа, затрачиваемая электроприводом + аккумуляторами дрона за тот же промежуток есть

A_{\text{з}} = \frac{A_{\text{п}}}{\eta_v} = 123750\,\text{Дж}.

Электрическая энергия $W_{\text{э}}$ , запасенная в аккумуляторах дрона должна быть не меньше работы $A_{\text{з}}$ . Данная энергия должна быть выработана солнечными батареями площадью $S$ за время, не меньшее чем $\Delta t_{\min}$ , т.е.

W_{\text{э}}^{(\min)} = \eta_{sb}\, f_{♂}\, S_{\mathrm{eff}}\, \Delta t_{\min}, \qquad (13)

здесь $f_{♂}$ – солнечная постоянная для Марса, т.е. освещенность создаваемая Солнцем у поверхности данной планеты (мы пренебрегаем слабым поглощением атмосферы планеты). Поскольку Марс в 1.52 раза дальше от Солнца, нежели Земля, а солнечная постоянная для Земли есть $f_{\odot} = 1361$ Вт/м $^2$ , то солнечная постоянная для Марса с учетом закона обратных квадратов представляется в виде:

f_{♂} = \frac{1}{(1.52)^2} f_{\odot} = 589\,\text{Вт/м}^2.

$S_{\mathrm{eff}}$ – эффективная площадь рабочей поверхности батарей, освещаемых Солнцем. Поскольку, по условию задачи, освещаться могут лишь две грани, то, с учетом эффекта проекции, величина эффективной площади не может превышать $S = \sqrt{2}\, S_I$ , где $S_I$ – площадь одной боковой грани куба. Последнюю можно легко оценить по фотографии и размерам винта. Согласно, условию предыдущей задачи диаметр винта равен 1.1 м, при этом его диаметр на фото равен 10 см. Размер ребра при этом составляет 1.8 см (ваши значения для масштабов дрона, определенных по рисунку, могут отличаться от указанных, но итоговый результат должен быть тем же). Составляя пропорцию легко убедиться в том, что ребро кубического контейнера должно быть равно $a = 20$ см. Тогда площадь одной боковой грани есть $S_I = a^2 = 0.04$ м $^2$ , а следовательно $S_{\mathrm{eff}} = 0.057$ м $^2$ . В итоге из (14) следует, что

\Delta t_{\min} = \frac{A_{\text{з}}}{\eta_{sb}\, f_{♂}\, S_{\mathrm{eff}}} = \frac{N\, \Delta t}{\eta_{sb}\, \eta_v\, f_{♂}\, S_{\mathrm{eff}}} = 36860\,\text{с} = 10.2\,\text{ч}. \qquad (14)

Т.о. для зарядки аккумуляторов дрона требуется значительное количество времени (значительная часть марсианского дня).

Ответ: $\Delta t_{\min} = \frac{N\, \Delta t}{\eta_{sb}\, \eta_v\, f_{♂}\, S_{\mathrm{eff}}} = 36860\,\text{с} = 10.2\,\text{ч}$ . (9 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf