Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 10. Дрон NASA для исследований Марса

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 8 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Фотография прототипа дрона: небольшой кубический корпус с эмблемой NASA на гранях, над ним на вертикальной оси два размытых от вращения винта, снизу четыре тонкие опоры-ноги. — Рис. 3: фото дрона НАСА для исследования Марса.

Условие. Сотрудники Лаборатории реактивного движения (НАСА, США) разработали и испытали прототип разведывательного дрона для использования на Марсе (см. рис. 3). По мнению экспертов, применение в дополнение к марсоходам дронов, осуществляющих разведку местности сверху, позволит втрое увеличить расстояние, которое потенциально за марсианский день смогут пройти роверы. В СМИ представлена крайне скудная техническая информация об аппарате. Известно, что данный аппарат является одновинтовым, с диаметром лопастей $D = 1.1$ м и массой $m = 1.5$ кг. С использованием имеющихся данных и результатов предыдущей задачи определите минимальную подъемную силу и соответствующую полезную мощность, которые должен иметь дрон для полета в марсианской атмосфере. Ускорение свободного падения у поверхности планеты $g_0 = 3.7$ м/c $^2$ . (8 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $D = 1.1$ м, $m = 1.5$ кг, $g_0 = 3.7$ м/c $^2$ .

Найти: $F_{\ell}^{(\min)}$ , $N_{\min}$ – ?

При работе вертолета, вращающийся винт толкает марсианский воздух вниз со скоростью $V_0$ . За время $\Delta t$ винт проталкивает под себя порцию воздуха $\Delta m$ , действуя на него с силой давления $F_p$ . Данная сила может быть определена с использованием закона изменения импульса газа:

F_p = \frac{\Delta m\, V_0}{\Delta t},

Порция воздуха массы $\Delta m$ будет иметь форму, близкую к форме цилиндра с площадью основания $\pi\, D^2/4$ , и высотой $\Delta h = V_0 \cdot \Delta t$ . Тогда объем данной порции воздуха есть $V_g = \pi\, D^2\, \Delta h/4$ , а масса

\Delta m = \rho_0\, V_g = \rho_{♂}\, \pi\, D^2\, \Delta h/4 = \rho_{♂}\, \pi\, V_0\, \Delta t\, D^2/4,

$\rho_{♂}$ – средняя массовая плотность марсианского воздуха у поверхности планеты (получена в предыдущей задаче). В итоге силу давления можно представить в виде:

F_p = \frac{\pi}{4} \rho_{♂}\, V_0^2\, D^2. \qquad (10)

По третьему закону Ньютона на лопасти винта (а, значит, и на сам вертолет) действует подъемная сила $F_{\ell}$ , направленная вверх и равная $F_p$ . Для того, чтобы вертолет начал полет необходимо, чтобы подъемная сила была не меньше силы тяжести, действующей на вертолет, т.е.

F_{\ell} \ge m\, g_0,

Рассмотрим далее предельный случай, который и будет, очевидно, определять минимальную подъемную силу, действующую на вертолет:

F_{\ell}^{(\min)} = m\, g_0 = 5.55\,\text{Н}, \ \ \text{или} \ \frac{\pi}{4} \rho_{♂}\, V_0^2\, D^2 = m\, g_0, \ \Rightarrow \ V_0 = \sqrt{\frac{4}{\pi} \frac{m\, g_0}{\rho_{♂}\, D^2}}. \qquad (11)

Минимальная полезная мощность дрона определяется скоростью совершения работы над марсианским воздухом, который разгоняется винтами до скорости $V_0$ , когда сила давления равна $F_{\ell}^{(\min)}$ :

N_{\min} = F_{\ell}^{(\min)} V_0 = m\, g_0 \sqrt{\frac{4}{\pi} \frac{m\, g_0}{\rho_{♂}\, D^2}} = 109.5\,\text{Вт} \approx 110\,\text{Вт}. \qquad (12)

Ответ: $F_{\ell}^{(\min)} = m\, g_0 = 5.55$ Н, $N_{\min} = F_{\ell}^{(\min)} V_0 \approx 110$ Вт. (8 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf