Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 9. Плотность атмосферы Марса

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 8 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Оцените плотность атмосферы Марса (главным образом, состоящей из углекислого газа) у его поверхности (в кг/м $^3$ и плотностях атмосферы Земли), если известно, что ее средняя температура составляет $-50^{\circ}$ C, а давление марсианского воздуха – 4.77 мм ртутного столба. Плотность земной атмосферы и молярная масса равны соответственно $\rho_{\oplus} = 1.29$ кг/м $^3$ и $\mu_{\oplus} = 29$ г/моль, при температуре $T_{\oplus} = 0^{\circ}$ C и давлении $p_{\oplus} = 760$ мм. ртутного столба. (8 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $t_{♂} = -50^{\circ}$ C, $t_{\oplus} = 0^{\circ}$ C, $p_{♂} = 4.77$ мм рт. ст., $p_{\oplus} = 760$ мм рт. ст., $\rho_{\oplus} = 1.29$ кг/м $^3$ , $\mu_{♂} = 44$ г/моль, $\mu_{\oplus} = 29$ г/моль.

Найти: $\rho_{♂}$ – ?

Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона для идеального газа в виде:

p = \frac{\rho}{\mu} R\, T, \qquad (8)

здесь $\{p, \rho, \mu, T\}$ – $\{\text{давление, плотность, молярная масса, абсолютная температура}\}$ газа, $R = 8.31$ Дж/(K $\cdot$ моль) – универсальная газовая постоянная. Поскольку атмосферы Земли и Марса являются относительно разреженными, то атмосферный газ можно считать идеальным.

Учтем также, что абсолютная температура $T$ и эмпирическая температура $t$ (определяемая по шкале Цельсия) связаны соотношением вида:

T = t_0 + t, \ \ \text{где} \ t_0 = 273.15\, K. \qquad (9)

Запишем уравнение (8) для атмосферного газа Марса и Земли:

p_{♂} = \frac{\rho_{♂}}{\mu_{♂}} R\, T_{♂}, \ \ p_{\oplus} = \frac{\rho_{\oplus}}{\mu_{\oplus}} R\, T_{\oplus}.

Поделим одно уравнение на другое:

\left(\frac{p_{♂}}{p_{\oplus}}\right) = \left(\frac{\rho_{♂}}{\rho_{\oplus}}\right) \left(\frac{\mu_{\oplus}}{\mu_{♂}}\right) \left(\frac{t_0 + t_{♂}}{t_0 + t_{\oplus}}\right), \ \Rightarrow

\rho_{♂} = \rho_{\oplus} \left(\frac{p_{♂}}{p_{\oplus}}\right) \left(\frac{\mu_{♂}}{\mu_{\oplus}}\right) \left(\frac{t_0 + t_{\oplus}}{t_0 + t_{♂}}\right) = 1.16 \cdot 10^{-2}\, \rho_{\oplus} = 1.50 \cdot 10^{-2}\, \text{кг/м}^3.

Здесь мы учли, что $\mu_{♂} = 44$ г/моль – молярная масса углекислого газа.

Ответ: $\rho_{♂} = 1.16 \cdot 10^{-2}\, \rho_{\oplus} = 1.50 \cdot 10^{-2}$ кг/м $^3$ . (8 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf