Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 6. Кратная система ε Лиры и ее разрешение в телескоп

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 5 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Телескоп с какими минимальными значениями увеличения ( $\Gamma_{\min}$ ) и диаметра зеркала ( $D_{\min}$ ) необходимо использовать астроному-любителю, чтобы уверенно разрешить все компоненты кратной звезды $\varepsilon$ Лиры? Последняя представляет собой систему из четырех звезд: она условно делится на северный компонент Эпсилон-1 ( $\varepsilon_1$ ) и южный компонент – Эпсилон-2 ( $\varepsilon_2$ ), угловое расстояние между которыми равно $D'' = 3.47'$ . В свою очередь, каждая из данных компонент является физически двойной звездой с угловыми расстояниями $d_1 = 2.6''$ и $d_2 = 2.3''$ . Разрешающую способность глаза принять равной $\beta_y = 2.5'$ . (5 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $D'' = 3.47'$ , $d_1 = 2.6''$ , $d_2 = 2.3''$ , $\beta_y = 2.5'$ .

Найти: $\Gamma_{\min}$ , $D_{\min}$ – ?

Как известно, одно из предназначений телескопа – увеличение угла, под которым мы рассматриваем какой-либо объект, в частности, уменьшение величины угла $\beta_y$ , определяющего разрешающую способность человеческого глаза. Согласно условию, человеческий глаз имеет разрешающую способность $\beta_y = 2.5' = 150''$ .

Согласно, определению угловое увеличение телескопа есть отношение тангенса угла под которым можно видеть данный объект в телескоп, к тангенсу угла, под которым данный объект виден невооруженным глазом:

\Gamma = \frac{\operatorname{tg} \alpha_T}{\operatorname{tg} \alpha_y} \approx \frac{\alpha_T}{\alpha_y}.

При записи приближенного равенства, учтено, что углы под которыми видны небесные тела малы, поэтому можно воспользоваться приближением вида:

\operatorname{tg} \alpha \approx \alpha, \ \ \text{при} \ \alpha \ll 1.

Чтобы разрешить все компоненты системы необходимо, чтобы угол ( $\alpha_T^{\min}$ ) под которым мы наблюдаем минимальный масштаб данной системы был не меньше $\beta_y$ , т.е.

\alpha_T^{\min} \ge \beta_y.

при этом $\alpha_y$ должен быть равен этому минимальному масштабу, т.е.

\alpha_y = \min\{D'', d''_1, d''_2\} = d''_2 = 2.3''.

В итоге

\Gamma_{\min} = \frac{\beta_y}{d''_2} = 65^{\times}.

Минимальный диаметр зеркала телескопа определяется его разрешающей способностью (для рефлектора):

\beta_T = \frac{120''}{D}, \ \ \text{где } D \text{ выражен в мм.} \qquad (7)

Чтобы телескоп в принципе (при каком-либо увеличении) мог разрешить, необходимо, чтобы $\beta_T \le d''_2$ , тогда минимальный диаметр зеркала представляется в виде:

D_{\min} = \frac{120''}{d''_2} = 52\,\text{мм}.

Ответ: $\Gamma_{\min} = \frac{\beta_y}{d''_2} = 65^{\times}$ , $D_{\min} = \frac{120''}{d''_2} = 52$ мм. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 5$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_10-11 classes.pdf