Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 16. Тройной транзит галилеевых спутников и определение их орбитальных скоростей, полярного сжатия Юпитера

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 13 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Для феномена, описанного в задаче № 15, c использованием лишь 1) фотографий рис. 4 и представленной на них информации, 2) значения экваториального радиуса Юпитера $\mathfrak{R}^{(e)}_J = 71492$ км и 3) предположения о круговых орбитах наблюдаемых спутников, оцените орбитальные скорости их движения и полярное сжатие Юпитера. Определите абсолютную и относительную ошибку определения искомых величин с использованием точных значений, представленных в таблице 1. Табличное значение коэффициента полярного сжатия Юпитера – $k^{(0)}_J = 0.06487$ . (13 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\mathfrak{R}^{(e)}_J = 71492$ км, $k_J = 0.06487$ .

Найти: $R_{\mathrm{at}}$ – ?

Согласно определению, полярным сжатием планеты называется следующее отношение:

k_J = \frac{\mathfrak{R}^{(e)}_J - \mathfrak{R}^{(p)}_J}{\mathfrak{R}^{(e)}_J}, \qquad (17)

здесь $\mathfrak{R}^{(e)}_J, \mathfrak{R}^{(p)}_J$ – экваториальный и полярный радиусы планеты соответственно.

Для решения настоящей и будущих задач на каждой из данных фотографий введем декартову систему координат, причем так, чтобы ось OX была направлена вдоль экватора, ось OY была направлена вдоль оси вращения планеты, а начало координат (точка O) совпадало с геометрическим центром планеты (см. рис. 9). Изначально, это можно сделать лишь приближенно, на глаз, но дальнейшие расчеты потребуют уточнения положения точки O.

Две фотографии Юпитера (как на рис. 8) с нанесенными построениями: красные оси X (вдоль экватора) и Y (вдоль оси вращения) с началом O; синие отрезки экваториальных и полярных радиусов $\mathfrak{R}^{(e)}_{J1}$, $\mathfrak{R}^{(e)}_{J2}$, $\mathfrak{R}^{(p)}_{J1}$, $\mathfrak{R}^{(p)}_{J2}$; черные размерные линии расстояний спутников и теней от оси Y: на левом снимке $d_C$, $h_C$, $d_I$, $h_I$, $h_E$, на правом $d_I$, $h_C$, $d_C$, $h_E$, $d_E$. — Рис. 9: к определению основных параметров расчетов.

Для определения истинного положения точки O определим на каждой фотографии значения двух экваториальных ( $\mathfrak{R}^{(e)}_{J\,1} = 48.5$ мм, $\mathfrak{R}^{(e)}_{J\,2} = 47$ мм) и полярных ( $\mathfrak{R}^{(p)}_{J\,1} = 44$ мм, $\mathfrak{R}^{(p)}_{J\,2} = 45$ мм) радиусов планеты.

\text{фото } 1: \ \mathfrak{R}^{(e)}_{J\,1} = 48.5\ \text{мм}, \ \mathfrak{R}^{(e)}_{J\,2} = 47\ \text{мм}, \ \ \mathfrak{R}^{(p)}_{J\,1} = 44\ \text{мм}, \ \mathfrak{R}^{(p)}_{J\,2} = 45\ \text{мм}.

\text{фото } 2: \ \mathfrak{R}^{(e)}_{J\,1} = 48.5\ \text{мм}, \ \mathfrak{R}^{(e)}_{J\,2} = 47\ \text{мм}, \ \ \mathfrak{R}^{(p)}_{J\,1} = 44\ \text{мм}, \ \mathfrak{R}^{(p)}_{J\,2} = 45\ \text{мм}.

Важно заметить, что ваши результаты измерений могут отличаться от представленных, поскольку искомые величины напрямую зависят от масштаба используемой фотографии. В качестве истинных значений примем их средние арифметические значения:

\bar{\mathfrak{R}}^{(e)}_J = \frac{1}{2}\left(\mathfrak{R}^{(e)}_{J\,1} + \mathfrak{R}^{(e)}_{J\,2}\right) = 47.75\ \text{мм}, \ \ \bar{\mathfrak{R}}^{(p)}_J = \frac{1}{2}\left(\mathfrak{R}^{(p)}_{J\,1} + \mathfrak{R}^{(p)}_{J\,2}\right) = 44.5\ \text{мм}.

Следовательно, истинный геометрический центр планеты (в нашем случае, на обеих фотографиях, см. рис. 9) лежит ниже оси $OX$ на $\delta Y = 0.5$ мм, и на $\delta X = 0.75$ мм правее оси OY. Данные поправки следует учитывать в последующих расчетах.

Полагая, что линейные масштабы фотографий одинаковы и в любой их точке постоянны, то

\mu_1 = \mu_2 = \mu = \frac{\mathfrak{R}^{(e)}_J}{\bar{\mathfrak{R}}^{(e)}_J} = 1497.214\ \text{км/мм}.

Тогда можно определить полярный радиус планеты (в км):

\mathfrak{R}^{(e)}_J = \mu\,\bar{\mathfrak{R}}^{(p)}_J = 66626\ \text{км}.

В итоге полярное сжатие получается равным

k_J = 0.06806.

Абсолютную и относительную погрешность определения $k_J$ оценим так:

\Delta k_J = |k_J - k^{(0)}_J| = 0.00319, \ \ \varepsilon_{k_J} = \frac{\Delta k_J}{k^{(0)}_J} \times 100\% = 4.9\%.

Заметим, что на обеих кадрах видны положения Ио и Каллисто (движутся непосредственно перед Юпитером). Поскольку промежуток времени между моментами получения данных фотографий $\Delta t = 42$ мин (2520 сек) является относительно малым, то можно полагать, что описываемые ими дуги окружностей (их орбит) есть прямые отрезки, тогда скорости спутников можно представить в виде (c учетом $\delta X_1 = \delta X_2 = \delta X$ ):

V_C = \mu\frac{d^{(1)}_C + \delta X_1 - (d^{(2)}_C + \delta X_2)}{\Delta t} = \mu\frac{(d^{(1)}_C - d^{(2)}_C)}{\Delta t}, \ \ V_I = \mu\frac{(d^{(2)}_I - d^{(1)}_I)}{\Delta t}, \qquad (18)

Определяя по рис. 9 параметры $d^{(1)}_C = 42.5$ мм, $d^{(2)}_C = 30.0$ мм, $d^{(1)}_I = 19.0$ мм, $d^{(1)}_I = 47.0$ мм, в результате получаем следующие значения скорости:

V_C = 7.427\ \text{км/c}, \ \ V_I = 16.635\ \text{км/c}.

Погрешность оценим так:

\Delta V_C = |V_C - V^{(0)}_C| = 0.777\ \text{км/c}, \ \ \varepsilon_{V_C} = \frac{\Delta V_C}{V^{(0)}_C} \times 100\% = 9.48\%.

\Delta V_I = |V_I - V^{(0)}_I| = 0.698\ \text{км/c}, \ \ \varepsilon_{V_I} = \frac{\Delta V_I}{V^{(0)}_I} \times 100\% = 4.03\%.

При определении орбитальной скорости Европы, мы учли, что на обеих фотографиях видна лишь тень, движущаяся по поверхности планеты, и потому пройденный путь по орбите спутником должен быть приблизительно равен дуге экватора $T_1T_2$ , пройденной тенью (в силу параллельности световых солнечных лучей), умноженной на $\cos((\alpha_1 + \alpha_2)/2)$ (см. рис. 10.а).

Две схемы вида сверху на оранжевый диск Юпитера и штриховую дугу орбиты спутника. а) Серые тени T₁, T₂ на диске, углы α₁, α₂ и (α₁+α₂)/2 при центре; спутник в положениях S₁, S₂ (голубые кружки); стрелка «на Солнце» (красная) и направление «на наблюдателя»; точка P; расстояния h₁, h₂, d₁, d₂ от оси. б) Тени T₁, T₂ на краю диска, спутники S₁, S₂, точка P, угол α между направлениями «на Солнце» и «на наблюдателя», расстояния h₁, h₂, d₁, d₂. — Рис. 10: к определению а) орбитальной скорости Европы, б) радиусов орбит спутников.

\begin{aligned} V_E &= \mu\frac{T_1T_2}{\Delta t}\cos((\alpha_1 + \alpha_2)/2) = \mu\bar{\mathfrak{R}}^{(e)}_J\frac{(\alpha_1 - \alpha_2)}{\Delta t}\cos((\alpha_1 + \alpha_2)/2) = \\ &= \frac{\mathfrak{R}^{(e)}_J}{\Delta t}\left(\arcsin\frac{h^{(1)}_E + \delta X}{\bar{\mathfrak{R}}^{(e)}_J} - \arcsin\frac{h^{(2)}_E + \delta X}{\bar{\mathfrak{R}}^{(e)}_J}\right)\cos((\alpha_1 + \alpha_2)/2), \end{aligned} \qquad (19)

здесь $\alpha_1, \alpha_2$ – углы между направлениями на наблюдателя и на положения тени 1 и 2, если смотреть из центра планеты. Учитывая, что $h^{(1)}_E = 47$ мм, $h^{(2)}_E = 27$ мм, $\alpha_1 = 90^{\circ}$ , $\alpha_2 = 35.53^{\circ}$ , $V_E = 12.342$ км/с.

\Delta V_E = |V_E - V^{(0)}_E| = 1.398\ \text{км/c}, \ \ \varepsilon_{V_I} = \frac{\Delta V_I}{V^{(0)}_I} \times 100\% = 10.02\%.

Ответ: $k_J = 0.06806$ , $\Delta k_J = 0.00319$ , $\varepsilon_{k_J} = 4.9\%$ ; $V_C = 7.427\ \text{км/c}$ , $\Delta V_C = 0.777$ км/c, $\varepsilon_{V_C} = 9.48\%$ ; $V_I = 16.635\ \text{км/c}$ , $\Delta V_I = 0.698$ км/c, $\varepsilon_{V_I} = 4.03\%$ ; $V_E = 12.342$ км/с, $\Delta V_E = 1.398$ км/c, $\varepsilon_{V_I} = 10.02\%$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf