Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 15. Тройной транзит галилеевых спутников – редкое природное явление

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 13 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. 23 января 2015 года космический телескоп имени Э. Хаббла получил четкие снимки (см. рис. 4) редкого явления в системе «Юпитер» – тройного транзита галилеевых спутников – прохождение одновременно по диску материнской планеты Ио, Европы и Каллисто. Ученые утверждают, что данный феномен является редким природным явлением, однако, в своих комментариях не приводят каких-либо численных оценок. С использованием данных наблюдений для указанных спутников, представленных в таблице 1, сидерических периодов обращения Юпитера ( $T_J = 4332.589$ сут) и Земли ( $T_{\oplus} = 365.256366$ сут) оцените промежуток времени между такими двумя последовательными событиями. (13 баллов).

Две цветные фотографии диска Юпитера с полосами облаков. Левая, подписана «06:28 UT, 23/01/2015»: метки «Io’s shadow», «Io», «Callisto’s shadow», «Callisto» (у левого края), «Europa’s shadow» (внизу). Правая, подписана «07:10 UT, 23/01/2015»: метки «Io» (вверху справа у края диска), «Callisto’s shadow», «Callisto», «Europa’s shadow», «Europa» (внизу слева). — Рис. 4: Фотографии тройного транзита галилеевых спутников Юпитера, полученные с помощью космического телескопа им. Э. Хаббла.

Параметр	Галилеевы спутники
	Ио	Европа	Ганимед	Каллисто
Большая полуось, км	421700	670900	1070400	1 882 700
Эксцентриситет	0.0041	0.009	0.0013	0.0074
Перийовий, км	420000	664862	1069200	1869000
Апойовий, км	423400	676938	1071600	1897000
Наклонение орбиты к пл-ти экватора Юпитера, град	0.05	0.470	0.200	0.192
Средняя орбитальная скорость, км/c	17.334	13.740	10.880	8.204
Сидерический период обращения, сут	1.769137	3.551181	7.154553	16.689018

Таблица 1: Основные орбитальные характеристики галилеевых спутников Юпитера.

Отговори

Решение

Дано: $T_J = 4332.589$ сут, $T_{\oplus} = 365.256366$ сут.

Найти: $\Delta T$ – ?

Прежде всего заметим, что на фотографиях виден фактически весь диск планеты, т.е. фаза планеты близка к единице, следовательно, фотография сделана вблизи противостояния. И это действительно так – противостояние состоялось 7.02.2015 года.

Будем далее для определенности полагать, что это был именно момент противостояния. Чтобы подобный феномен имел место, необходимо выполнение следующих условий:

Ио, Европа, Каллисто должны расположиться вдоль одного луча, с началом в центре материнской планеты,
данный луч должен быть направлен на Солнце (т.е. спутники должны находится в подсолнечных точках своих орбит),
Земля должна быть в противостоянии (для оптимальных условий наблюдения). Конечно, такой феномен можно наблюдать и в других конфигурациях, однако ее наблюдение, несомненно, будет менее комфортным.

Данные процессы характеризуются 5 периодами: $T_I$ , $T_E$ , $T_C$ – сидерическими периодами обращения Ио, Европы, Каллисто соответственно вокруг материнской планеты; сидерическими периодами $T_J$ , $T_{\oplus}$ обращения Юпитера и Земли соответственно вокруг Солнца. Частота пребывания галилеева спутника в подсолнечной точке будет характеризоваться его синодическим периодом (местными истинными солнечными сутками):

S_i = \frac{T_J\,T_i}{T_J - T_i}, \ \text{ где } \ i = I\,(\text{Ио}), E\,(\text{Европа}), C\,(\text{Каллиcто}).

В итоге, мы получаем следующие значения $S_I = 1.770$ сут, $S_E = 3.554$ сут, $S_C = 16.754$ сут. Важно удержать для последующих расчетов, как минимум три знака после запятой, поскольку тогда мы определяем результат с точностью до $1/1000$ суток или 87 сек, что порядка 1 минуты. Ошибка результата в одну минуту не сможет "разрушить" конфигурацию в принципе, поскольку характерное время продолжительности транзита, согласно фотографиям заведомо больше (порядка 30 минут).

Пребывание Юпитера в противостоянии определяется его синодическим периодом:

S_J = \frac{T_J\,T_{\oplus}}{T_J - T_{\oplus}} = 398.884\ \text{сут}.

Умножим, полученные периоды на "1000" и превратим их в натуральные числа, получим: 1770, 3554, 16754, 398884. Конфигурация повторится через промежуток времени, очевидно, являющийся наименьшим общим кратным данных чисел. Для его определения разложим данные числа на простые множители, для этого выписываем все простые множители:

\begin{aligned} 1770 &: \{2^1, 3^1, 5^1, 59^1\}, \\ 3554 &: \{2^1, 1777^1\}, \\ 16754 &: \{2^1, 8377^1\}, \\ 398884 &: \{2^2, 99721^1\}, \end{aligned}

каждый из взятых множителей возводим в наибольшую из тех степеней, с которыми он входит в заданные числа. Производим умножение:

2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 59^1 \times 1777^1 \times 8377^1 \times 99721^1 = 5254916629363860.

Разделим полученное число на 1000 и на 365.24219 (последнее число – количество суток в одном тропическом годе).

В итоге мы получаем $\Delta T = 1.439 \cdot 10^{10}$ лет, что больше времени существования Вселенной. Т.о. данное явление, по сути, уникальное.

Ответ: $\Delta T = 1.439 \cdot 10^{10}$ лет. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf