Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 14. Маятниковые часы на Земле и Марсе

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 12 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Для проведения будущих научных экспериментов на Марсе было предложено использовать специальные маятниковые часы, основу которых составляют 1) гиря малых размеров, прикрепленная к одному концу 2) жесткой, прямой, легкой штанги, второй конец которой прикреплен к свободно вращающейся горизонтальной оси. Предполагается, что данные часы будут выверены в земной лаборатории при температуре $+20^{\circ}$ C. Затем часы будут отправлены на Марс, где температура поверхности в момент проведения эксперимента составит $-60^{\circ}$ C. Учитывая, что радиус Марса составляет $0.532 \cdot \mathfrak{R}_{\oplus}$ , а масса – $0.107 \cdot \mathfrak{M}_{\oplus}$ (здесь $\mathfrak{R}_{\oplus}, \mathfrak{M}_{\oplus}$ – радиус и масса Земли) определите промежуток времени, в течение которого часовая стрелка часов совершит один полный оборот в указанных условиях. Насколько эффективно использование этих часов для точного измерения времени на Марсе? Коэффициент линейного расширения штанги $\alpha = 5 \cdot 10^{-5}$ град $^{-1}$ . Сопротивлением атмосферы движению маятника и трением в оси пренебречь. (12 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $t_{\oplus} = +20^{\circ}$ C, $t_{♂} = -60^{\circ}$ C, $\mathfrak{R}_{♂} = 0.532 \cdot \mathfrak{R}_{\oplus}$ , $\mathfrak{M}_{♂} = 0.107 \cdot \mathfrak{M}_{\oplus}$ , $\alpha = 5 \cdot 10^{-5}$ град $^{-1}$ .

Найти: $\Delta T_{♂}$ – ?

Очевидно, что часовой маятник есть математический маятник, период малых колебаний, которого определяется выражением:

T = 2\,\pi\sqrt{\frac{\ell}{g_0}}, \qquad (16)

здесь $\ell$ – длина штанги маятника, $g_0$ – ускорение свободного падения у поверхности планеты. Согласно, условию задачи, часы будут выверены в земных условиях, т.е. промежуток времени ( $\Delta T_{\oplus}$ ), отвечающий одному обороту часовой стрелки в условиях земной лаборатории будет равен $\Delta T_{\oplus} = 12$ часам.

За указанный промежуток времени маятник совершит $N_{\oplus}$ колебаний:

N_{\oplus} = \frac{\Delta T_{\oplus}}{T_{\oplus}}, \ \text{ где } \ T_{\oplus} = 2\,\pi\sqrt{\frac{\ell_{\oplus}}{g_{\oplus}}}, \ \ \ell_{\oplus} = \ell_0(1 + \alpha\,t_{\oplus}), \ \ g_{\oplus} = \frac{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}}{\mathfrak{R}^2_{\oplus}},

здесь $\ell_0$ – длина штанги при $0^{\circ}$ C.

На поверхности Марса маятнику необходимо также совершить $N_{\oplus}$ колебаний, чтобы часовая стрелка совершила один полный оборот, однако здесь колебания совершаются уже с периодом $T_{♂}$ , тогда

\Delta T_{♂} = N_{\oplus}\,T_{♂} = \Delta T_{\oplus}\frac{T_{♂}}{T_{\oplus}}, \ \text{ где } \ T_{♂} = 2\,\pi\sqrt{\frac{\ell_{♂}}{g_{♂}}}, \ \ \ell_{♂} = \ell_0(1 + \alpha\,t_{♂}), \ \ g_{♂} = \frac{G\,\mathfrak{M}_{♂}}{\mathfrak{R}^2_{♂}},

или

\Delta T_{♂} = \Delta T_{\oplus}\sqrt{\frac{\ell_{♂}}{\ell_{\oplus}}\frac{g_{\oplus}}{g_{♂}}} = \Delta T_{\oplus}\sqrt{\frac{\mathfrak{M}_{\oplus}}{\mathfrak{M}_{♂}}\left(\frac{\mathfrak{R}_{♂}}{\mathfrak{R}_{\oplus}}\right)^2\left(\frac{1 + \alpha\,t_{♂}}{1 + \alpha\,t_{\oplus}}\right)} = 19\ \text{час}\ 29\ \text{мин}.

Т.о. данные часы отстали от истинного времени за 19 часов 29 мин на 7 часов 29 мин! Это очень большое отклонение и использование таких часов на Марсе крайне не эффективно.

Ответ: $\Delta T_{♂} = 19$ час 29 мин; использование таких часов на Марсе крайне не эффективно. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf