Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 13. Закон Тициуса-Боде и орбиты гипотетических планет

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 11 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Как известно, закон Тициуса-Боде – это правило, эмпирическая формула, приближенно определяющая гелиоцентрические расстояния всех классических планет (за исключением Нептуна) и карликовых планет (для Плутона и Эриды). С использованием данного закона

1. оцените абсолютную и относительную погрешность определения гелиоцентрических расстояний до указанных выше тел.

2. определите радиусы круговых орбит гипотетических планет, которые могут находится за орбитой Эриды, вплоть до внутренней границы облака Оорта ( $2 \cdot 10^3$ а.е.) $^2$ .

(11 баллов).

$^2$ Недавние теоретические исследования движений тел внешней части Солнечной системы, выполненные группой испанских и британских астрономов во главе с Карлосом де ла Фуэнте Маркосом, указали на существование на дальних ее рубежах, как минимум, двух неизвестных планет.

Отговори

Решение

1. Закон Тициуса-Боде, определяющий среднее гелиоцентрическое расстояние ( $r$ ) до планеты может быть представлен в виде:

r_n = 0.1\,(4 + 3 \cdot 2^n).

Абсолютную погрешность определения расстояния с помощью данного закона будем определять в виде:

\Delta r = |r_n - r_n^{(0)}|

здесь $r_n^{(0)}$ – точное среднего значения гелиоцентрического расстояния до планеты. Относительную погрешность определим как

\varepsilon_r = \frac{\Delta r}{r_n^{(0)}} \cdot 100\%.

Выполняя расчет, согласно приведенным формулам, получаем следующие результаты, представленные в таблице 4. Из последнего столбца видно, что данный закон дает весьма точные прогнозы для планетных расстояний для большинства рассматриваемых тел и относительная погрешность не превышает $(3 \div 4)\%$ .

2. Для определения радиусов круговых орбит гипотетических планет, которые могут находится за орбитой Эриды и на расстояниях не более $10^3$ а.е., необходимо вычислить расстояния $r_n$ для $n = 9, 10, 11, 12$ . Результаты вычислений представлены в таблице 5.

Планета	$n$	$r_n$ , а.е.	$r_n^{(0)}$ , а.е.	$\Delta r$ , а.е.	$\varepsilon_r$ , %
Меркурий	$-\infty$	0.4	0.387	0.013	3.35
Венера	0	0.7	0.723	0.023	3.18
Земля	1	1	1.000	0.000	0.00
Марс	2	1.6	1.52	0.08	5.26
Пояс астероидов	3	2.8	$2.2 \div 3.6$	–	–
Юпитер	4	5.2	5.204	0.004	0.08
Сатурн	5	10.0	9.582	0.418	4.36
Уран	6	19.6	19.229	0.371	1.93
Нептун	–	–	30.104	–	–
Плутон	7	38.8	39.264	0.464	1.18
Эрида	8	77.2	67.958	9.242	13.60

Таблица 4: результаты вычислений и данные для гелиоцентрических расстояний классических и карликовых планет Солнечной системы.

Планета №	$n$	$r_n$ , а.е.
1	9	154
2	10	307.6
3	11	614.8
4	12	1229.2

Таблица 5: результаты вычислений для радиусов круговых орбит гипотетических планет, которые могут находится за орбитой Эриды и на расстояниях не более $2 \cdot 10^3$ а.е.

Из приведенных данных следует, что возможны 4 вакантные орбиты с $r = 154$ а.е., 307.6 а.е., 614.8 а.е., 1229.2 а.е.

Интересно заметить, что группа испанских и британских астрономов во главе с Карлосом де ла Фуэнте Маркосом, в начале 2015 года указали на существование, как минимум, двух планет, одна из которых должна находиться на расстоянии 150 а.е., а вторая – на расстоянии $250 \div 300$ а.е. Т.о. результаты наших расчетов согласуются с предсказаниями сложных математических моделей эволюции орбит тел Солнечной системы.

Ответ: результаты расчетов представлены в таблицах 4, 5. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 11$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf