Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 12. ИСЗ и его движение в области земной тени

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 10 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Искусственный спутник Земли (ИСЗ) движется по круговой орбите, лежащей в плоскости земной орбиты. Спутник на каждом витке попадает в область земной тени. Определите зависимость отношения времени пребывания ИСЗ в области земной тени к сидерическому периоду обращения спутника от радиуса его круговой орбиты. Какое максимальное и минимальное количество времени в течение одних суток может пребывать Международная космическая станция (МКС) в области земной тени (движущаяся по указанной орбите), если высота ее орбиты равна 415 км? (10 баллов).

Отговори

Решение

Пусть $\Delta t_{\mathrm{sh}}$ – время пребывания спутника в области земной тени. Поскольку спутник под действием силы притяжения движется по круговой орбите равномерно, то данное время можно определить как

\Delta t_{\mathrm{sh}} = \frac{\breve{CH}}{V_s} = \frac{D_{\mathrm{sh}} \cdot r}{V_s}, \qquad (11)

здесь $\breve{CH}$ – дуга окружности орбиты ИСЗ, заключенная внутри земной тени (см. рис. 7); $D_{\mathrm{sh}}$ – угол раствора, соответствующий данной дуге с вершиной, совпадающей с центром Земли; $r, V_s$ – радиус орбиты и орбитальная скорость спутника соответственно.

Схема: слева желтый круг Солнца с центром S, радиус 𝔑☉ проведен к точке касания A; справа голубой круг Земли с центром E, радиус 𝔑⊕ к точке касания B и точке G; штриховая окружность орбиты спутника радиуса r вокруг Земли; касательные к Солнцу и Земле сходятся в вершине конуса тени J под углом α; точки C и H — пересечения образующих конуса с орбитой, F — середина хорды CH на оси SJ; угол D_sh при E отмечен зеленой дугой. — Рис. 7: к определению отношения $\Delta t_{\mathrm{sh}}/T$ .

Аналогично можно записать сидерический период обращения спутника вокруг Земли:

T = \frac{2\,\pi \cdot r}{V_s}. \qquad (12)

Разделим уравнения (11) на (12), получим в результате:

\frac{\Delta t_{\mathrm{sh}}}{T} = \frac{D_{\mathrm{sh}}}{2\pi}. \qquad (13)

Т.о. поиск искомой величины сводится к вычислению угла $D_{\mathrm{sh}} = \angle CEH$ .

Для определения последнего воспользуемся подобием треугольников $\triangle EBJ$ и $\triangle FJ$ :

\frac{EB}{CF} = \frac{EJ}{CJ},

учитывая, что $EB = \mathfrak{R}_{\oplus} = 6371$ км – средний радиус Земли, $EJ = L_{\mathrm{sh}}$ – высота конуса земной тени (подлежит определению); $CF = r\,\sin(D_{\mathrm{sh}}/2)$ , $CJ = FJ/\cos\alpha$ . В свою очередь, $FJ = L_{\mathrm{sh}} - r\cos(D_{\mathrm{sh}}/2)$ . В итоге условие подобия представляется в виде:

\frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{r\,\sin(D_{\mathrm{sh}}/2)} = \frac{L_{\mathrm{sh}}\,\cos\alpha}{L_{\mathrm{sh}} - r\cos(D_{\mathrm{sh}}/2)}, \ \Rightarrow\ \mathfrak{R}_{\oplus}(L_{\mathrm{sh}} - r\cos(D_{\mathrm{sh}}/2)) = r\,L_{\mathrm{sh}}\,\cos\alpha\,\sin(D_{\mathrm{sh}}/2).

Разделим обе части последнего уравнения на $L^2_{\mathrm{sh}}$ и введем для удобства следующие обозначения:

\varepsilon = \frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{L_{\mathrm{sh}}} = \sin\alpha, \ \ x = \frac{r}{L_{\mathrm{sh}}}, \ \ y = \sin\frac{D_{\mathrm{sh}}}{2},

тогда последнее уравнение представляется в виде:

\varepsilon(1 - x\sqrt{1-y^2}) = x\,\sqrt{1-\varepsilon^2}\,y, \ \Rightarrow\ \varepsilon - x\,\sqrt{1-\varepsilon^2}\,y = \varepsilon\,x\,\sqrt{1-y^2}.

Возведем полученное уравнение в квадрат:

\varepsilon^2 - 2x\,\varepsilon\,\sqrt{1-\varepsilon^2}\,y + x^2\,(1-\varepsilon^2)\,y^2 = \varepsilon^2\,x^2\,(1-y^2), \ \Rightarrow\ x^2\,y^2 - 2x\,\varepsilon\,\sqrt{1-\varepsilon^2}\,y + \varepsilon^2(1-x^2) = 0,

Решая последнее уравнение относительно переменной $y$ , в результате получаем следующие корни:

y = \frac{1}{2x^2}\left(2x\,\varepsilon\,\sqrt{1-\varepsilon^2} \pm 2x\,\varepsilon\sqrt{x^2-\varepsilon^2}\right), \ \Rightarrow\ y = \frac{\varepsilon}{x}\left(\sqrt{1-\varepsilon^2} \pm \sqrt{x^2-\varepsilon^2}\right).

Простой проверкой в частном случае $x = \varepsilon$ , убеждается в том, что корень со знаком «+» не удовлетворяет физическим условиям задачи и потому должен быть отброшен. В итоге

\sin\frac{D_{\mathrm{sh}}}{2} = \frac{\varepsilon}{x}\left(\sqrt{1-\varepsilon^2} - \sqrt{x^2-\varepsilon^2}\right), \ \Rightarrow\ D_{\mathrm{sh}} = 2\arcsin\left[\frac{\varepsilon}{x}\left(\sqrt{1-\varepsilon^2} - \sqrt{x^2-\varepsilon^2}\right)\right]. \qquad (14)

Следовательно, отношение $\Delta t_{\mathrm{sh}}/T$ представляется в виде:

\frac{\Delta t_{\mathrm{sh}}}{T} = \frac{1}{\pi}\arcsin\left[\frac{\varepsilon}{x}\left(\sqrt{1-\varepsilon^2} - \sqrt{x^2-\varepsilon^2}\right)\right], \ \text{ где } \ x = \frac{r}{L_{\mathrm{sh}}}. \qquad (15)

Для определения $L_{\mathrm{sh}}$ воспользуемся подобием треугольников $\triangle EBJ$ и $\triangle SAJ$ :

\frac{SA}{EB} = \frac{SJ}{EJ}, \ \Rightarrow\ \frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{\mathfrak{R}_{\oplus}} = \frac{a_{\oplus} + L_{\mathrm{sh}}}{L_{\mathrm{sh}}}, \ \Rightarrow\ L_{\mathrm{sh}} = a_{\oplus}\left(\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{\mathfrak{R}_{\oplus}} - 1\right)^{-1} = 1.381 \cdot 10^6\ \text{км} \gg \mathfrak{R}_{\odot}.

здесь мы учли, что $\mathfrak{R}_{\odot} = 6.965 \cdot 10^5$ км – радиус Солнца, $a_{\oplus} = 1.496 \cdot 10^8$ км – большая полуось земной орбиты. Параметр $x$ можно также представить в виде:

x = \frac{r}{a_{\oplus}}\left(\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{\mathfrak{R}_{\oplus}} - 1\right).

Рассмотрим случай МКС. Здесь $r = \mathfrak{R}_{\odot} + h = 6786$ км, $x = 4.91 \cdot 10^{-3}$ , $\varepsilon = 4.61 \cdot 10^{-3}$ , тогда $\Delta t_{\mathrm{sh}}/T = 0.387$ .

С использованием третьего закона Ньютона определим период вращения МКС:

\left(\frac{T}{T_0}\right)^2 = \left(\frac{r}{\mathfrak{R}_{\oplus}}\right)^3, \ \Rightarrow\ T = T_0\left(\frac{r}{\mathfrak{R}_{\oplus}}\right)^{3/2} = 1.547\ \text{часа}, \ \ \text{где} \ T_0 = \frac{2\,\pi\,\mathfrak{R}_{\oplus}}{V_I} = 2\,\pi\sqrt{\frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{g_0}} = 1.407\ \text{часа}.

Следовательно, время пребывания МКС в тени на одном витке есть $\Delta t_{\mathrm{sh}} = 0.599$ часа = 35.9 минут.

Учитывая, что отношение 24 часа/T≈15.5, т.е. МКС за одни сутки совершает 15.5 оборотов вокруг центра Земли, то возможно $N_{\min} = 15$ сеансов пребывания в тени за сутки (в случае, когда пролетев первые о.5 витка на Солнце, станция заходит в тень), а также $N_{\min} = 16$ сеансов пребывания в тени за сутки (в случае, когда в начале суток станция заходит в тень). Следовательно, минимальное время пребывания МКС в тени в течение одних суток есть

\Delta T^{(\mathrm{sh})}_{\min} = N_{\min} \cdot \Delta t_{\mathrm{sh}} = 8.985\ \text{часов} = 8\ \text{часов}\ 59\ \text{мин},

Максимальное время пребывания МКС в тени в течение одних суток

\Delta T^{(\mathrm{sh})}_{\max} = N_{\max} \cdot \Delta t_{\mathrm{sh}} = 9.584\ \text{часов} = 9\ \text{часов}\ 35\ \text{мин}.

Ответ: $\frac{\Delta t_{\mathrm{sh}}}{T} = \frac{1}{\pi}\arcsin\left[\frac{\varepsilon}{x}\left(\sqrt{1-\varepsilon^2} - \sqrt{x^2-\varepsilon^2}\right)\right]$ , где $x = \frac{r}{a_{\oplus}}\left(\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{\mathfrak{R}_{\oplus}} - 1\right)$ , $\Delta T^{(\mathrm{sh})}_{\min} = 8$ часов 59 мин, $\Delta T^{(\mathrm{sh})}_{\max} = 9$ часов 35 мин. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf