Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 11. Сжатие видимого диска Солнца у горизонта

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 9 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Наблюдается восход Солнца, причем в некоторый момент времени нижняя точка его видимого диска касается горизонта. Оцените максимальную разность угловых диаметров Солнца ( $D''_{\max\,\odot} - D''_{\min\,\odot}$ ) и соответствующее видимое сжатие диска, определяемое выражением

k = \frac{D''_{\max\,\odot} - D''_{\min\,\odot}}{D''_{\max\,\odot}}. \qquad (1)

где $D''_{\max\,\odot}, D''_{\min\,\odot}$ – максимальное и минимальное значения углового диаметра Солнца. (9 баллов).

Замечание. Для решения задачи следует воспользоваться эмпирической формулой Беннетта для определения величины рефракции $\delta h$ (в угловых минутах) в зависимости от видимой высоты светила $h_a$ (в градусах):

\delta h = \operatorname{ctg}\left(\frac{h_a}{1^{\circ}} + \frac{7.31^{\circ}}{h_a + 4.4^{\circ}}\right) \qquad (2)

и формулой Смардсона для определения величины рефракции $\delta h$ (в угловых минутах) в зависимости от истинной высоты светила $h_0$ (в градусах):

\delta h = 1.02 \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{h_0}{1^{\circ}} + \frac{10.3^{\circ}}{h_0 + 5.1^{\circ}}\right). \qquad (3)

Отговори

Решение

Как известно, рефракция света «сжимает» образы небесных тел у горизонта, вдоль круга высоты (по вертикали). При этом в горизонтальном направлении размеры остаются без искажений. Следовательно, максимальный угловой диаметр Солнца будет определяться вдоль линии параллельной горизонту. Положим его равным $D''_{\max\,\odot} = 32.0'$ (можно вычислить самому или взять из справочной литературы).

Связь истинной высоты $h_0$ точки светила с видимой $h_a$ определяется выражением вида:

h_a = h_0 + \delta h,

где $\delta h$ определяется одной из формул (9)-(10).

Согласно условию задачи, в некоторый момент времени нижняя точка ( $B$ ) его видимого диска касается горизонта, тогда ее видимая высота должна быть равна $h_a^{(B)} = 0^{\circ}$ . Следовательно, можно вычислить истинную высоту данной точки

h_0^{(B)} = h_a^{(B)} - \delta h = h_a^{(B)} - \operatorname{ctg}\left(h_a^{(B)} + \frac{7.31^{\circ}}{h_a^{(B)} + 4.4^{\circ}}\right) = 0^{\circ}00' - 34.5' = -34.5'.

Поскольку, диск Солнца в отсутствие рефракции является круглым, то истинная высота его верхней точки ( $T$ ) в тот же момент времени есть

h_0^{(T)} = h_0^{(B)} + D''_{\max\,\odot} = -2.5'.

Теперь легко вычислить видимую высоту точки T:

h_a^{(T)} = h_0^{(T)} + \delta h = h_0^{(T)} + 1.02 \cdot \operatorname{ctg}\left(h_0^{(T)} + \frac{10.3^{\circ}}{h_0^{(T)} + 5.1^{\circ}}\right) = -2.5' + 29.3' = 26.8'.

Следовательно, минимальное значение углового диаметра Солнца есть

D''_{\min\,\odot} = h_a^{(T)} - h_a^{(B)} = 26.8'.

В итоге

D''_{\max\,\odot} - D''_{\min\,\odot} = 32.0' - 26.8' = 5.2', \ \ k = \frac{D''_{\max\,\odot} - D''_{\min\,\odot}}{D''_{\max\,\odot}} = 0.16.

Ответ: $D''_{\max\,\odot} - D''_{\min\,\odot} = 5.2'$ , $k = \frac{D''_{\max\,\odot} - D''_{\min\,\odot}}{D''_{\max\,\odot}} = 0.16$ . (9 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf