Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 10. Масса атмосферы Марса

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 8 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Оцените массу атмосферы Марса, если давление марсианского воздуха у поверхности планеты составляет 4.77 мм ртутного столба, радиус планеты составляет $0.532 \cdot \mathfrak{R}_{\oplus}$ , а масса планеты – $0.107 \cdot \mathfrak{M}_{\oplus}$ . Здесь $\mathfrak{R}_{\oplus}, \mathfrak{M}_{\oplus}$ – радиус и масса Земли. Во сколько раз масса марсианской атмосферы отличается от массы атмосферы Земли? (8 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $p_{♂} = 4.77$ мм рт. ст., $\mathfrak{R}_{♂} = 0.532 \cdot \mathfrak{R}_{\oplus}$ , $\mathfrak{M}_{♂} = 0.107 \cdot \mathfrak{M}_{\oplus}$ .

Найти: $\mathfrak{M}^{(A)}_{♂}$ – ?

Как известно, атмосфера Марса, является относительно разреженной и, главным образом, состоящей из углекислого газа (CO $_2$ ) – относительно тяжелого газа, который под действием гравитации планеты должен собираться преимущественно у поверхности планеты. Логично полагать, что доминирующая часть массы атмосферы планеты должна быть сосредоточена у ее поверхности, в относительно тонком слое, где ускорение свободного падения ( $g^{(0)}_{♂}$ ) можно полагать постоянной величиной.

Следовательно, вес (P) атмосферы планеты должен быть равен силе тяжести, действующей на нее у поверхности, т.е.

P = \mathfrak{M}^{(A)}_{♂}\,g^{(0)}_{♂}, \ \text{ иначе } \ P = p_{♂} S_{♂} = p_{♂} 4\pi\,\mathfrak{R}^2_{♂}, \qquad (5)

откуда следует, что

\mathfrak{M}^{(A)}_{♂} = 4\pi\,\frac{p_{♂}}{g^{(0)}_{♂}}\mathfrak{R}^2_{♂}, \ \text{ где } \ g^{(0)}_{♂} = \frac{G\,\mathfrak{M}_{♂}}{\mathfrak{R}^2_{♂}}. \qquad (6)

При определении веса атмосферы учтено, что $S_{♂} = 4\pi\,\mathfrak{R}^2_{♂}$ – площадь поверхности планеты-шара. Учитывая также, что атмосферное давление Марса составляет $6.28 \cdot 10^{-3} p_{\oplus}$ (где $p_{\oplus} = 760$ мм рт. ст.= 101325 Па – нормальное атмосферное давление у поверхности Земли), в итоге

\mathfrak{M}^{(A)}_{♂} = 4\pi\,\frac{p_{♂}\,\mathfrak{R}^4_{♂}}{G\,\mathfrak{M}^{(A)}_{♂}} = \left[\frac{6.28 \cdot 10^{-3} \cdot (0.532)^4}{0.107}\right]\mathfrak{M}^{(A)}_{\oplus} = 4.70 \cdot 10^{-3}\,\mathfrak{M}^{(A)}_{\oplus} = 2.48 \cdot 10^{16}\ \text{кг}, \qquad (7)

где $\mathfrak{M}^{(A)}_{\oplus}$ – масса атмосферы Земли, вычисляемая аналогичным образом:

\mathfrak{M}^{(A)}_{\oplus} = 4\pi\,\frac{p_{\oplus}\,\mathfrak{R}^4_{\oplus}}{G\,\mathfrak{M}_{\oplus}} = 4\pi\,\frac{p_{\oplus}\,\mathfrak{R}^2_{\oplus}}{g^{(0)}_{\oplus}} = 4\pi\,\frac{101325\ \text{Па}\ (6.371 \cdot 10^6\ \text{м})^2}{9.81\ \text{м/c}^2} = 5.27 \cdot 10^{18}\ \text{кг}.

При записи последнего результата мы учли, что $\mathfrak{R}_{\oplus} = 6371$ км – средний радиус Земли, $\mathfrak{M}_{\oplus} = 5.974 \cdot 10^{24}$ кг – масса Земли, $g^{(0)}_{\oplus} = G\,\mathfrak{M}_{\oplus}/\mathfrak{R}^2_{\oplus} = 9.81$ м/c $^2$ – ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Ответ: $\mathfrak{M}^{(A)}_{♂} = 4\pi\,\frac{p_{♂}\,\mathfrak{R}^4_{♂}}{G\,\mathfrak{M}^{(A)}_{♂}} = 2.48 \cdot 10^{16}$ кг, $\mathfrak{M}^{(A)}_{♂}/\mathfrak{M}^{(A)}_{\oplus} = 4.70 \cdot 10^{-3}$ . (8 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf