Съдържание

Самара 2015, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 8. Падение метеороида на галилеев спутник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 7 т.

Задачи подготовил

Задачи подготовил: Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, к.ф.-м.н.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Метеороид массой $m = 10$ тонн падает на поверхность одного из галилеевых спутников. Диаметр этого спутника составляет $D = 5.268 \cdot 10^6$ м. График зависимости силы $F_{at}$ гравитационного притяжения метеороида галилеевым спутником от расстояния $r$ между их центрами представлен на рис. 3. Определите ускорение свободного падения у поверхности данного спутника, его массу и среднюю массовую плотность. По полученным данным определите, какой именно это был спутник. (7 баллов).

График на сетке: по горизонтали «r, тыс. км» от 0 до 14 (деления 0, 2, 4, …, 14), по вертикали «Fat, кН» от 0 до 14 (деления через 2); убывающая кривая начинается около r ≈ 2.6 при F ≈ 14.3 и спадает до ≈ 0.4 при r = 15. — Рис. 3: зависимость силы $F_{at}$ гравитационного притяжения метеороида галилеевым спутником от расстояния $r$ между их центрами.

Отговори

Решение

Дано: $m = 10^4$ кг, $D = 5.268 \cdot 10^6$ м.

Найти: $g_0$ , $\mathfrak{M}$ , $\bar{\rho}$ – ?

Прежде всего заметим, что радиус галилеева спутника есть $\mathfrak{R} = D/2 = 2.634 \cdot 10^6$ м. Сила притяжения метеороида спутником определяется законом всемирного тяготения Ньютона (поскольку все галилеевы спутники имеют форму, близкую к форме шара; метеороид имеет размеры, существенно меньшие размеров спутника, поэтому его можно принять за материальную точку):

F_{at}(r) = \frac{G\,m\,\mathfrak{M}}{r^2}. \qquad (1)

В частности, у поверхности спутника сила притяжения должна быть равна силе тяжести, т.е.

F_{at}(\mathfrak{R}) = \frac{G\,m\,\mathfrak{M}}{\mathfrak{R}^2} = m\,g_0, \ \Rightarrow\ g_0 = \frac{F_{at}(\mathfrak{R})}{m} = 1.45\ \text{м/c}^2, \qquad (2)

здесь учтено, что согласно графику $F_{at}(\mathfrak{R}) = 14.5$ кН (данное значение отвечает крайней левой точке кривой на рис. 6). Из выражения (2) можно также легко выразить массу спутника:

\mathfrak{M} = \frac{F_{at}(\mathfrak{R})\,\mathfrak{R}^2}{G\,m} = \frac{F_{at}(\mathfrak{R})\,D^2}{4\,G\,m} = 1.50 \cdot 10^{23}\ \text{кг}. \qquad (3)

Далее легко определяется средняя массовая плотность спутника:

\bar{\rho} = \frac{\mathfrak{M}}{V} = \frac{6}{\pi}\frac{\mathfrak{M}}{D^3} = 1960\ \text{кг/м}^3. \qquad (4)

здесь мы учли, что объема спутника-шара есть

V = \frac{\pi}{6}D^3.

В таблице 2 представлены результаты вычислений, а также данные для четырех галилеевых спутников. Из сопоставления результатов следует, что это был Ганимед – крупнейший спутник Юпитера.

Спутник	$\mathfrak{R}$ , км	$g_0$ , м/c $^2$	$\mathfrak{M}$ , кг	$\bar{\rho}$ , кг/м $^3$
Ио	1821.3	1.796	$8.932 \cdot 10^{22}$	3528
Европа	1560.8	1.315	$4.802 \cdot 10^{22}$	3014
Ганимед	2634.1	1.428	$1.481 \cdot 10^{23}$	1936
Калиисто	2410	1.235	$1.076 \cdot 10^{23}$	1834
Наш рез-тат	2634	1.45	$1.50 \cdot 10^{23}$	1960

Таблица 2: данные для галилеевых спутников и полученные результаты.

Ответ: $g_0 = 1.45$ м/c $^2$ , $\mathfrak{M} = 1.50 \cdot 10^{23}$ кг, $\bar{\rho} = 1960$ кг/м $^3$ ; Ганимед. (7 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-2]_8-9 classes.pdf