Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18. «Проект LLMT»

• 4. $m_{\mathrm{T}} = 27.1^{\mathrm{m}}$, $\beta_{\mathrm{T}} = 1.2 \cdot 10^{-3}{}''$
• 5. $f = \frac{g}{8\pi^2\nu^2}$; а) $1.4 \cdot 10^{-2}$ Гц, б) $8.3 \cdot 10^{-3}$ Гц, в) $5.8 \cdot 10^{-3}$ Гц, г) $4.5 \cdot 10^{-3}$ Гц, д) $3.7 \cdot 10^{-3}$ Гц

Решение:

Как известно, сферическая аберрация – это аберрация оптических систем, проявляющаяся в несовпадении фокусов для лучей света, проходящих на разных расстояниях от оптической оси. Чтобы сферическая аберрация отсутствовала в системе необходимо, чтобы все лучи отраженные разными участками поверхности зеркала собирались в одной точке.

1. Докажем, что у параболического зеркала отсутствует сферическая аберрация. Для этого рассмотрим точечный источник света, удаленный от зеркала. Данный источник порождает пучок лучей, параллельных главной оптической оси зеркала (т. е. поток излучения имеет плоский волновой фронт).

Рассмотрим для примера два световых луча 1 и 2. При распространении до точек $A_1$ и $A_2$ данные лучи были в одинаковых условиях.

Воспользуемся принципом Ферма: свет всегда распространяется по кратчайшему оптическому пути. Введем декартову систему координат так как показано на рисунке.

Определим оптический путь луча, прошедшего по участку $A_1B_1F$. Для этого мы учтем, что координаты точек $A_1$, $B_1$ есть:

тогда

где $C$-константа. Постоянство оптического пути следует из принципа Ферма и эквивалентности состояний лучей, до того как они пересекли ось $OY$.

Определим константу $C$ через геометрические параметры зеркала: $R$ – его радиус; $h$ – глубина зеркала. Для луча, падающего на край зеркала, из (45) следует, что при $x = 0$:

Иначе из (45) для луча, падающего в центр зеркала:

Приравниваем левые части (2) и (3):

Возведем в квадрат обе части:

Следовательно константу C можно представить в виде:

Из (45) и (47) следует, что:

или

Поскольку $l = \frac{R^2}{4h} - h$

Из рис. 12 следует выражение для фокусного расстояния зеркала:

Тогда уравнение поверхности зеркала (52) представляется в виде:

Очевидно, последнее уравнение определяет профиль параболы, симметрично расположенной относительно оси $OX$. Таким образом, чтобы зеркало собирало все световые лучи в одной точке (F) его кривизна поверхности должна иметь параболический профиль.

2. Докажем, что у сферического зеркала в случае малости отношения $D_T/2r$ ($D_T/2r \ll 1$) сферическая аберрация является пренебрежимо малой. Воспользуемся уравнением (51) и представим его в виде:

Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:

Полагая далее, что $y^2 \ll R^2$, последнее уравнение можно переписать в виде:

откуда

Полагая, что $h = \frac{R}{\sqrt{2}} = r$, то получаем уравнение окружности:

При этом фокусное расстояние зеркала есть:

здесь $r$ – радиус кривизны зеркала. Т.о. сферическое зеркало с условием $D_T/2r \ll 1$, также позволяет избежать данной аберрации. Именно поэтому рефлектор с малым объективом ($D < 15$) имеют сферическое зеркало (оно гораздо проще в изготовлении с технической точки зрения), а рефлекторы, у которых $D > 20$ см имеют, как правило, параболическое зеркало.

3. Докажем, что поверхность жидкости, вращающейся вместе с поддоном в однородном поле тяготения, есть параболоид вращения. Итак, исходную физическую систему составляют поддон, имеющий форму цилиндра с радиусом основания $R$ и высотой $H$ (см. рис. 13). Данный поддон может свободно вращаться вокруг своей оси симметрии под действием внешнего электропривода с регулируемой частотой $\omega$. Данный поддон частично заполнен жидкостью (высота столба жидкости в статичном состоянии $h_0$, причем $h_0 < H$) с относительно высоким показателем преломления $n$.

При вращении поддона, часть жидкости смещается в его периферийную часть. В итоге профиль поверхности жидкости уже не есть плоскость, а какая-то трехмерная поверхность вращения, $2D$-профиль, которой мы должны определить.

Рассмотрим ситуацию с вращающимся поддоном частично заполненным жидкостью с угловой скоростью $\omega$ в установившемся режиме. Далее рассмотрим бесконечно малый элемент жидкости массы $dm$, отстоящий от оси вращения на расстоянии $x$, имеющий толщину $dx$, высоту $y$, и ширину $dz$.

Выберем декартову систему координат так как показано на рис. 13. При этом оси системы не меняют своей ориентации в пространстве с течением времени, а система составляет основу инерциальной системы отсчета (ИСО). Запишем второй закон Ньютона для элемента жидкости в ИСО:

здесь $dm\vec{g}$ – вектор силы тяжести, приложенный к данному элементу жидкости, $d\vec{N}$ – вектор силы реакции, действующий со стороны соседних элементов жидкости. Следует отметить, что последний вектор перпендикулярен поверхности жидкости в точке, где находится данный элемент жидкости.

Рассмотрим уравнение (57) в проекциях на координатные оси:

где $a_c = \omega^2\,x$ – центростремительное ускорение, $g$ – ускорение свободного падения. При этом

Поделив первое уравнение на второе последней системы уравнений, в итоге получаем следующее уравнение:

Далее следует отметить, что при перемещении с левой на правую границу элемента жидкости горизонтальная координата меняется на величину $dx$, при этом вертикальная координата поверхности жидкости меняется на величину $dy$. Из рис. 1 также следует, что отношение этих приращений есть тангенс угла наклона касательной к данной поверхности в данной точке.

Приравняем правые части (61) и (62) в итоге получаем

Проинтегрируем последнее уравнение в пределах $(0, x)$, $(0, y)$ соответственно.

Мы получили уравнение параболы, которое можно представить в виде:

Т.о. мы строго доказали, что уравнение профиля поверхности вращающейся жидкости есть парабола (квадратичная), а сама поверхность есть параболоид вращения. При этом профиль поверхности зависит лишь от ускорения свободного падения на поверхности планеты (в частности, Земли) и от угловой скорости вращения поддона.

4. Проницающую силу и разрешающую способность телескопа LLMT оценим по формулам (42), (43):

5. Определим явную зависимость фокусного расстояния ($f$) параболического зеркала от частоты обращения ($\omega$). Для этого приведем уравнение (53) к виду (63), а именно произведем взаимную замену $x \leftrightarrow y$, произведем преобразование сдвига вида $y \to y - R^2/4f^2$. В результате уравнение (53) представляется в виде:

Из сопоставления последнего уравнения с уравнением (63) следует, что

Т.о. зависимость фокусного расстояния от частоты вращения $\nu$ является гиперболической.

Относительное отверстие телескопа есть

С использованием последнего результата для пяти значений $A$ (при $g = g_{☾} = 1.62\ \mathrm{м/c^2}$) получаем следующие значения $\nu$: а) $1.4{\cdot}10^{-2}$ Гц, б) $8.3{\cdot}10^{-3}$ Гц, в) $5.8{\cdot}10^{-3}$ Гц, г) $4.5{\cdot}10^{-3}$ Гц, д) $3.7{\cdot}10^{-3}$ Гц.

Ответ: 4) $m_{\mathrm{T}} = 27.1^{\mathrm{m}}$, $\beta_{\mathrm{T}} = 1.2 \cdot 10^{-3}{}''$; 5) $f = \frac{g}{8\pi^2\nu^2}$; а) $1.4 \cdot 10^{-2}$ Гц, б) $8.3 \cdot 10^{-3}$ Гц, в) $5.8 \cdot 10^{-3}$ Гц, г) $4.5 \cdot 10^{-3}$ Гц, д) $3.7 \cdot 10^{-3}$ Гц. ($\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).