Съдържание

Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 17. «Телескоп для наблюдений системы Kepler-138»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 14 т.

Условие

Условие. С использованием данных и результатов решения предыдущей задачи оцените минимальный диаметр зеркала телескопа, который еще пригоден для наблюдений звезды Kepler-138. Оцените видимую звездную величину экзопланеты Kepler-138b, когда последняя находится в окрестности своей наибольшей элонгации, учитывая, что радиус экзопланеты равен 0.45 радиуса Земли и полагая, что сферическое альбедо планеты ( $A_B$ ) равно геометрическому альбедо Марса ( $p_M = 0.15$ ). Телескоп с каким диаметром зеркала пригоден для прямых наблюдений экзопланеты? Каков должен быть диаметр зеркала, чтобы разрешить радиус орбиты планеты $a_2$ на указанном расстоянии $r_1$ ? Каким должен быть диаметр зеркала телескопа, который будет удовлетворять всем выше перечисленным условиям? (14 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\Re_P = 0.45\,\Re_{\oplus}$ , $A_B = p_M = 0.15$ .

Найти: $D^{(1)}_{\min}$ , $m_P$ , $D^{(2)}_{\min}$ , $D^{(3)}_{\min}$ – ?

Решение:

Согласно решению предыдущей задачи, звездная величина Kepler-138 равна $m^{(v)}_{*} = 13.62^m$ . Чтобы в телескоп можно было отчетливо пронаблюдать эту звезду, необходимо, чтобы проницающая сила телескопа инструмента $m_{\mathrm{T}} \ge m^{(v)}_{*}$ , причем

m_{\mathrm{T}} = 2.1^{\mathrm{m}} + 5.0^{\mathrm{m}}\lg D_T, \ \Rightarrow \ D_T = 10^{(m_{\mathrm{T}} - 2.1^{\mathrm{m}})/5.0^{\mathrm{m}}}. \qquad (42)

В итоге

D^{(1)}_{\min} = 10^{(m^{(v)}_{*} - 2.1^{\mathrm{m}})/5.0^{\mathrm{m}}} = 201\,\mathrm{мм} \approx 20\,\mathrm{см}.

Для оценки визуальной видимой звездной величины планеты учтем, что в фазе наибольшей элонгации экзопланеты, ее фазовый угол по отношению к родительской звезде будет равен $90^{\circ}$ , при этом фаза планеты равна $\Phi_P = 0.5$ . Т.о. площадь освещенной части диска планеты равен 0.5 от всей его площади. Освещенность, создаваемая звездой у поверхности планеты есть

E_{*} = \frac{L_{*}}{4\pi\,r^2_P}.

Поток падающего света от звезды на поверхность планеты, и отраженного в направлении Земли есть

\Phi_{*} = A_B\,E_{*}\pi\,\Re^2_P\,\Phi_P = p_M\,\frac{L_{*}}{4r^2_P}\,\Phi_P\,\Re^2_P.

Освещенность, создаваемая планетой у поверхности Земли есть

E_P = \frac{\Phi_{*}}{2\,\pi\Delta^2_{*}} = \frac{1}{8\,\pi}\,p_M\,\Phi_P\,\frac{L_{*}}{\Delta^2_{*}\,r^2_P}\Re^2_P.

С использованием формулы Погсона определим видимую звездную величину экзопланеты:

m_P = m^{(b)}_{\odot} - 2.512\lg\left(\frac{E_P}{E_{\odot}}\right) = m^{(b)}_{\odot} - 2.512\lg\left(\frac{1}{2}\,p_M\,\Phi_P\left[\frac{L_{*}}{L_{\odot}}\right]\frac{a^2_{\oplus}\,\Re^2_P}{\Delta^2_{*}\,r^2_P}\right) = 33.8^{\mathrm{m}}.

С использованием формулы (42) легко вычислить минимальный диаметр главного зеркала телескопа, который может непосредственно увидеть данную экзопланету:

D^{(2)}_{\min} = 10^{(m_P - 2.1^{\mathrm{m}})/5.0^{\mathrm{m}}} \approx 2.20\,\mathrm{км}.

Максимальный угол, под которым будет виден радиус орбиты экзопланеты есть

\alpha = \left(\frac{a_P}{\Delta_{*}}\right)206265'' = 1.16 \cdot 10^{-3}{}''.

Чтобы телескоп смог разрешить данный масштаб необходимо, чтобы его разрешающая способность, определяемая формулой вида

\beta_{\mathrm{T}} = \frac{120''}{D[\mathrm{мм}]}, \qquad (43)

была не больше $\alpha$ . В предельном случае имеем

D^{(3)}_{\min} = \frac{120''}{\alpha} = 103.4\,\mathrm{м}. \qquad (44)

Телескоп, который будет удовлетворять всем перечисленным в условии требованиям, должен иметь диаметр, являющимся максимальным значением среди результатов $\{D^{(1)}_{\min}, D^{(2)}_{\min}, D^{(3)}_{\min}\}$ . Т.о. телескоп должен иметь диаметр 602.5 км.

Ответ: $D^{(1)}_{\min} \approx 20$ см, $D^{(2)}_{\min} \approx 2.2$ км, $D^{(3)}_{\min} \approx 103.4$ м; телескоп, который будет удовлетворять всем выше перечисленным условиям задачи должен иметь диаметр 2.2 км. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf