Съдържание

Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 16. «Свойства звезды Kepler-138»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 13 т.

Условие

Условие. В июне 2015 года американские астрономы объявили об открытии самой легкой экзопланеты, известной на тот момент, Kepler-138b. Эта планета обращается вокруг красного карлика Kepler-138 (с эффективной температурой поверхности $T_{*} = 3871$ К и радиусом $\Re_{*} = 0.54\,\Re_{\odot}$ , M0V) по почти круговой орбите радиуса $r_P = 0.0769$ а.е., с периодом $P_P = 10.3$ сут. Полагая, что масса планеты много меньше массы карлика, оцените массу последнего (в массах Солнца) и его среднюю массовую плотность. Вычислите также его светимость (в светимостях Солнца), болометрическую видимую звездную величину и визуальную видимую звездную величину (для землянина), при условии, что расстояние до звезды составляет $\Delta_{*} = 66.5$ пк. (13 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\Re_{*} = 0.54\,\Re_{\odot}$ , $T_{*} = 3871$ К, $r_P = 0.0769$ а.е., $P_P = 10.3$ сут, $\Delta_{*} = 66.5$ пк.

Найти: $\mathfrak{M}_{*}$ , $\rho_{*}$ , $L_{*}$ , $m^{(b)}_{*}$ $m^{(v)}_{*}$ – ?

Решение:

Согласно условию задачи, масса экзопланеты ( $\mathfrak{M}_P$ ) много меньше массы центральной звезды ( $\mathfrak{M}_{*}$ ), следовательно, последнюю можно считать неподвижной и рассматривать движение экзопланеты вокруг звезды по окружности. Второй закон Ньютона для экзопланеты запишется в виде:

\mathfrak{M}_P a_P = \frac{G\,\mathfrak{M}_P\,\mathfrak{M}_{*}}{r^2_P}, \ \Rightarrow \ \mathfrak{M}_{*} = \frac{a_P\,r^2_P}{G}, \qquad (35)

здесь $a_P$ – центростремительное ускорение экзопланеты. Последнее может быть представлено в виде:

a_P = \frac{4\,\pi^2\,r_P}{P^2_P}.

В итоге масса звезды, согласно (35), может быть представлена в виде:

\mathfrak{M}_{*} = \frac{4\,\pi^2\,r^3_P}{G\,P^2_P} = 1.143 \cdot 10^{30}\ \mathrm{кг} = 0.575\,\mathfrak{M}_{\odot}. \qquad (36)

Средняя массовая плотность звезды равна

\rho_{*} = \frac{\mathfrak{M}_{*}}{4\,\pi\,\Re^3_{*}/3} = \frac{3\,\pi\,r^3_P}{G\,T^2_P\,\Re^3_{*}} = 5150\ \mathrm{кг/м^3}. \qquad (37)

Светимость звезды определяется в виде:

L_{*} = 4\,\pi\,\Re^2_{*}\,\sigma\,T^4_{*} = 2.257\ \cdot 10^{25}\,\mathrm{Вт} = 0.06\,L_{\odot}. \qquad (38)

Далее определим болометрическую видимую звездную величину ( $m^{(b)}_{*}$ ) звезды по формуле Погсона:

m^{(b)}_{*} - m^{(b)}_{\odot} = -2.5\lg\left(\frac{E^{(b)}_{*}}{E^{(b)}_{\odot}}\right), \qquad (39)

здесь $m^{(b)}_{\odot} = -26.74^m$ – болометрическая видимая звездная величина Солнца, $E^{(b)}_{*}, E^{(b)}_{\odot}$ – болометрические освещенности, создаваемые красным карликом Kepler-138 и Солнцем у поверхности Земли. Последние представляются в виде:

E^{(b)}_{*} = \frac{L_{*}}{4\pi\,\Delta^2_{*}}, \quad E^{(b)}_{\odot} = \frac{L_{\odot}}{4\pi\,a^2_{\oplus}},

где $L_{\odot} = 3.827 \cdot 10^{26}$ Вт – светимость Солнца, $a_{\oplus} = 1$ а.е. – среднее расстояние от Земли до Солнца. В результате получаем

m^{(b)}_{*} = m^{(b)}_{\odot} - 2.5\lg\left(\frac{L_{*}}{L_{\odot}}\left[\frac{a_{\oplus}}{\Delta_{*}}\right]^2\right) = 12.19^m, \qquad (40)

Визуальная видимая звездная величина равна

m^{(v)}_{*} = m^{(b)}_{*} - \Delta m^{(b)} = 13.62^m. \qquad (41)

здесь $\Delta m^{(b)} = -1.43^m$ – болометрическая поправка, определяемая спектральным классом звезды и классом светимости (M0V). Данную величину можно найти в справочной литературе $^1$ .

Ответ: к задаче представлен выражениями (36), (37), (38), (40), (41). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

$^1$ см., например, Филиппов Ю.П. Современная астрономия: избранные задачи для школьников и студентов. Издание второе, исправленное и дополненное. – Самара: изд-во «СДДЮТ». – 2015. – 168с.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf