Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 15. «Вращение Земли и отклонение отвеса от направления на ее центр»

• $\alpha = \arcsin\left[\frac{\chi}{2}\frac{\sin 2\varphi}{\sqrt{1 + (\chi^2 - 2\chi)\cos^2\varphi}}\right]$, $\chi = 3.45 \cdot 10^{-3}$; $\alpha_{\max} \approx 5.9'$ при $\varphi = \pm 45^{\circ}$; $\alpha_{\min} = 0.0'$ при $\varphi = 0^{\circ}, \pm 90^{\circ}$.

Дано: $T_{\oplus} = 23^{\mathrm{ч}}56^{\mathrm{м}}04^{\mathrm{c}}$.

Найти: $\alpha(\varphi)$, $\alpha_{\min}, \alpha_{\max}$ – ?

Решение:

Как известно, отвесная линия – это прямая, параллельная вектору силы тяжести в данной точке поверхности Земли (или другого небесного тела). Сила тяжести – сила, действующая на любое материальное тело, находящееся вблизи поверхности Земли или другого астрономического тела. Сила тяжести, действующая на пробное тело массы $m$ определяется выражением вида:

здесь $\vec{g}$ – ускорение свободного падения – ускорение, приобретаемое телом под действием силы тяжести.

Рассмотрим взаимодействие планеты с пробным телом (далее материальная точка А) массы $m$, находящимся на ее поверхности, на широте $\varphi$ (см. рис. 11). В системе отсчета, жестко связанной с телом планеты, точка А неподвижна, а сама система является неинерциальной, поскольку участвует во вращательном движении вместе с планетой относительно далеких звезд. На материальную точку А на поверхности планеты действуют 3 силы (см. рис. 11):

1. сила тяготения $\vec{F}_{\mathrm{at}}$, направленная к центру планеты;

2. центробежная сила $\vec{F}_{\mathrm{c}}$, направленная от оси вращения планеты;

3. сила реакции поверхности планеты $\vec{N}$.

Поскольку относительно тела планеты и, следовательно, выбранной системы отсчета материальная точка А покоится, то сумма всех выше указанных сил должна быть рана нулю (согласно второму закону Ньютона):

С другой стороны, согласно третьему закону Ньютона, для тела, покоящегося относительно горизонтальной поверхности имеет место:

где $\vec{P}$ – вес тела. Последний, как известно, в состоянии относительного покоя материальной точки равен силе тяжести, действующей на точку А, т.е.

Центробежную силу можно определить выражением вида:

где $\omega = \frac{2\pi}{T_{\oplus}}$ – угловая скорость вращения планеты; $\vec{r}' = \overrightarrow{O_3A}$. Сила тяготения $\vec{F}_{\mathrm{at}}$ определяется выражением

где $G = 6.674 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{Н{\cdot}м^2/кг^2}$ – универсальная гравитационная постоянная, $\mathfrak{M}$ – масса планеты, $\vec{r} = \overrightarrow{OA}$. Из уравнений (20) – (22) следует уравнение вида:

при этом модуль ускорения свободного падения есть

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника, составленного из сил $m\,\vec{g}$, $\vec{F}_c$, $\vec{F}_{\mathrm{at}}$:

Т.о. для определения угла $\alpha$ необходимо определить зависимости $r'(\varphi)$ и $g(\varphi)$. Для этого воспользуемся определением географической широты $\varphi$ – углом между плоскостью экватора и радиусом-вектором, проведенным из центра шара к данной точке (см. рис. 11). Тогда

Т.о. при $r \le \Re_{\oplus}$ ускорение свободного падения, согласно (26), представляется в виде:

здесь $\mathfrak{M}_{\oplus} = 5.974 \cdot 10^{24}$ кг – масса Земли, $\Re_{\oplus} = 6371$ км – ее средний радиус.

Таким образом, ускорение свободного падения в общем случае зависит от расстояния до центра планеты и от широты местонахождения материальной точки А. Рассмотрим ряд частных случаев:

• ускорение свободного падения у поверхности планеты ($r = \Re$):

• Безразмерный параметр $\chi$ определяется отношением величин сил $\vec{F}_{\mathrm{c}}$ (определенной на экваторе) и $\vec{F}_{\mathrm{at}}$. Параметр $\chi$ для любой классической планеты Солнечной системы есть величина, удовлетворяющая условию $\chi \ll 1$, следовательно, $\chi^2 \ll \chi$. Тогда для ускорения свободного падения справедливо следующее приближенное выражение

Учитывая также тот факт, что $\cos^2\varphi \le 1$ и приближение вида $(1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha\,x$, при $|x| \ll 1$, последний результат можно редуцировать к виду:

Из выражений (27), (30) и (32) следует, что

Для Земли $\chi = 3.45 \cdot 10^{-3}$, в результате знаменатель дроби в аргументе функции arcsin слабо отличается от единицы, поэтому величина $\alpha$ определяется главным образом, величиной числителя дроби. Последняя достигает максимума при $\varphi = 45^{\circ}$. Следовательно

Ответ: представлен выражениями (33), (34). ($\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).