Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 14. «Звездное небо на горе Наблюдатель и в Самаре»

• 30

  $\Delta N = N_{\mathrm{total}}\sqrt{\frac{(h_N - h_S)}{2\Re_{\oplus}}} \approx 30$ (расчет дает 28).

Дано: $h_N = 381.2$ м, $h_S = 100$ м, $m_{\max} = 6^m$.

Найти: $\Delta N_{*}$ – ?

Решение:

Город Самара, как и вся Самарская область расположена на юго-востоке Восточно-Европейской равнины по среднему течению Волги. Как правило, перепад высот рельефа области не велик. Поэтому в среднем поверхность Земли, занимаемой областью, можно рассматривать как поверхность земного шара, радиус которого больше его океанического радиуса на $h_S$ (см. рис. 10.а). Относительно данной поверхности, высота горы есть

С вершины горы взору наблюдателя доступны не только звезды, которые в данный момент расположены над математическим горизонтом, но и часть звезд, расположенная под горизонтом внутри узкого кольца ("избыточной полосы") с углом раствора $\alpha$ (см. рис. 10.а). Последний равен углу $\angle OCB$, (углы равны, поскольку их стороны взаимно перпендикулярны).

Косинус угла $\angle OCB$, в свою очередь, представляется в виде:

здесь $\Re_{\oplus} = 6371$ км – средний радиус Земли, определенный на уровне моря. Очевидно, угол $\alpha$ мал, и потому косинус угла можно представить в виде:

С другой стороны, с учетом $h_S, h_N \ll \Re_{\oplus}$,

здесь мы учли приближенное выражение для бинома Ньютона

Из сопоставления (16) и (17) следует, что

Угловая площадь (телесный угол) "избыточной полосы" небесной сферы тогда определяется выражением вида (подобно площади тонкой прямолинейной полоски – длина $\times$ ширина):

Составим пропорцию: на всей небесной сфере, телесной угол которой соответствует равный $4\,\pi$, расположено $N_{\mathrm{total}} = 6000$ звезд, видимых невооруженным глазом с $m \le m_{\max}$. А в телесном угле $\Omega_{\mathrm{belt}}$ расположено $\Delta N$ звезд:

Ответ: $\Delta N = N_{\mathrm{total}}\sqrt{\frac{(h_N - h_S)}{2\Re_{\oplus}}} \approx 30$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).