Съдържание

Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 13. «Транзит небесного тела по диску Солнца»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 11 т.

Условие

Фотография части солнечного диска (желтый край диска на темно-красном фоне) с небольшим темным круглым пятном – телом, проходящим по диску. — Рис. 2: фотография транзита небесного тела по диску Солнца.

Условие. На рисунке 2 представлена фотография транзита небесного тела по диску Солнца. С использованием справочных данных из сторонних источников, определите, какое именно тело испытало транзит? Оцените полное время его транзита. (11 баллов).

Отговори

Решение

Решение:

Прежде всего, определим угловой ( $\mu_a$ ) масштаб фотографии следующими выражениями:

\mu_a = \frac{\rho''_{\odot}}{R_{\odot}}, \quad \mu_{\ell} = \frac{\Re_{\odot}}{R_{\odot}}, \qquad (11)

а) Фотография края солнечного диска с темным кружком планеты; б) та же фотография с построениями: горизонтальные прямые AD, EF (через планету, отмечен ее диаметр d) и касательная через нижнюю точку C. — Рис. 8: а) фотография транзита небесного тела по диску Солнца; б) та же фотография с дополнительными построениями.

где $\rho''_{\odot} = 15.996'$ – средний угловой радиус Солнца, $\Re_{\odot} = 6.961{\cdot}10^{5}$ км – линейный радиус Солнца, полученные по данным наблюдений профессионалов, $R_{\odot}$ – линейный радиус Солнца, измеренный по фотографии.

К сожалению, измерить непосредственно радиус видимого диска Солнца по фотографии не представляется возможным. Поэтому будем для этого использовать несложную методику косвенного определения $R_{\odot}$ . Рассмотрим круг радиуса $R$ и круговой сегмент $ACBDA$ , с высотой $h$ и основанием $AB = 2a$ (см. рис. 9). Из треугольника $\triangle ADO$ по теореме Пифагора следует, что

Круг с центром O и радиусом R; хорда AB с серединой D, круговой сегмент ACB высоты h закрашен оранжевым, половина основания a; отрезок AO = R, диаметр через E и O. — Рис. 9: к определению радиуса круга.

R^2 = a^2 + (R - h)^2, \ \Rightarrow \ R = \frac{(a^2 + h^2)}{2h}.

Т.о. для определения радиуса круга необходимо знать высоту $h$ кругового сегмента и половину его основания – $a$ . Выполним дополнительное построение на данной фотографии. Проведем через нижнюю точку $C$ части видимого диска (см. рис. 8.б) касательную. Проведем параллельную ей прямую, через крайнюю левую точку $A$ диска Солнца. Опустим из точки $C$ на нее перпендикуляр CD. В результате мы получаем половину кругового сектора $ACDA$ , для которого $h_{\odot} = CD$ , $a_{\odot} = AD$ и, следовательно,

R_{\odot} = \frac{(a^2_{\odot} + h^2_{\odot})}{2h_{\odot}}. \qquad (12)

Определяя по фотографии значения $a_{\odot} = 14.4$ см, $h_{\odot} = 11.4$ см (ваши значения могут отличаться от указанных, в зависимости от формата используемой фотографии), в итоге получаем $R_{\odot} = 14.795$ см. Тогда угловой и линейный масштаб фотографии представляются значениями $\mu_a = 1.08'/\mathrm{см}$ , $\mu_{\ell} = 47050$ км/см.

Далее измеряем диаметр диска планеты – $d = 1.0$ см, что отвечает угловому диаметру планеты – $D''_p = \mu_a\,d = 65''$ . Вычислим возможные значения углового диаметра Меркурия и Венеры в фазе транзита, согласно формулам

D''_{p\ \min} = \frac{2\Re_p}{\Delta_{\max}} = \frac{2\Re_p}{a_{\oplus}(1 + \varepsilon_{\oplus}) - a_p(1 - \varepsilon_p)}, \quad D''_{p\ \max} = \frac{2\Re_p}{\Delta_{\min}} = \frac{2\Re_p}{a_{\oplus}(1 - \varepsilon_{\oplus}) - a_p(1 + \varepsilon_p)},

здесь $\Re_p$ – средний радиус планеты; $a_{\oplus} = 1$ а.е. – большая полуось орбиты Земли, $\varepsilon_{\oplus} = 0.0167$ – ее эксцентриситет; $a_p, \varepsilon_p$ – соответствующие параметры орбиты планеты. Для Меркурия имеем $\mathfrak{M}_{☿} = 2439.7$ км $a_{☿} = 0.387$ а.е., $\varepsilon_{☿} = 0.206$ ; для Венеры – $\Re_{♀} = 6051.8$ км, $a_{♀} = 0.723$ а.е., $\varepsilon_{♀} = 0.0068$ . В итоге для планет

\text{Для Меркурия:} \ \ 9.48'' \le D''_{☿} \le 13.02'', \qquad (13)

\text{Для Венеры:} \ \ 55.89'' \le D''_{♀} \le 65.35''. \qquad (14)

Из сопоставления результатов следует, что на фотографии представлен транзит Венеры. Оценим полное время $\tau_{\mathrm{tr}}$ ее транзита. Для этого определим угловую протяженность полухорды EF, по которой двигалась планета.

\alpha/2 = \mu_a \cdot EF = 1.08'/\mathrm{см} \cdot 12.6\,\mathrm{см} = 13.608'.

следовательно, протяженность всей хорды есть $\alpha = 27.216'$ .

Определим далее геоцентрическое расстояние Венеры во время транзита:

r_{♀} = \frac{2\Re_{♀} \cdot 206265''}{D''_{♀}} = 3.841 \cdot 10^{7}\ \mathrm{км}.

Полное расстояние, которое необходимо пройти Венере во время транзита относительно Земли есть

\ell = 2r_{♀}\,\mathrm{tg}\,\frac{\alpha}{2} \approx r_{♀}\,\alpha = 304072\,\mathrm{км}.

Скорость движения Венеры относительно Земли во время транзита есть

V_{\mathrm{rel}} = V_{♀} - V_{\oplus} = \frac{2\pi\,a_{♀}}{T_{♀}} - \frac{2\pi\,a_{\oplus}}{T_{\oplus}} = 47.86\,\mathrm{км/c} - 29.78\,\mathrm{км/c} = 18.08\ \mathrm{км/c}.

Следовательно, время транзита есть

\tau_{\mathrm{tr}} = \frac{\ell}{V_{\mathrm{rel}}} = 4.67\,\mathrm{часа}.

Замечание: Более аккуратный расчет времени транзита Венеры по диску Солнца (которое произошло в 2004 году), с учетом конечности диска и трехмерности процесса транзита планеты дает величину $\approx 6$ часов.

Ответ: транзит Венеры; его продолжительность $\tau_{\mathrm{tr}} = 4.67\,\mathrm{часа}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 11$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf