Съдържание

Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 12. «Местоположение санатория»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 10 т.

Условие

Условие. Астроном, пребывая в отпуске, остановился в одном из отелей на берегу океана. Утром 23 сентября он вышел на балкон своего номера и стал поджидать верхнюю кульминацию Солнца. В ожидаемый момент Солнце отразилось в центре бассейна шириной $\ell = 6$ м, отстоящего от балкона на расстоянии $L = 10$ м. Расстояние от поверхности земли до пола балкона составляло $H = 10$ м. Рост астронома равен $h = 1.8$ м. Уравнение времени в этот день было равно $\eta = -8^{\mathrm{м}}$ . Часы астронома, в этот момент (по местному декретному времени) показывали $13^{\mathrm{ч}}20^{\mathrm{м}}$ . Астроном знал, что отель находится в 9-м часовом поясе. Оцените по имеющимся данным географические координаты отеля. (10 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $T = 23.09$ , $\ell = 6$ м, $L = 10$ м, $H = 10$ м, $h = 1.8$ м, $T_{\text{д}} = 13^{\mathrm{h}}20^{\mathrm{m}}$ , $N = 9$ , $\eta = -8^{\mathrm{м}}$ .

Найти: $\varphi, \lambda$ – ?

Решение:

Заметим, что событие происходит 23.09, когда Солнце находится в точке осеннего равноденствия. Данная точка расположена на небесном экваторе, следовательно, склонение Солнца в этот день было равно нулю, – $\delta_{\odot} = 0^{\circ}$ .

Определим высоту ( $h^{(\max)}_{\odot}$ ) Солнца в полдень. Для этого заметим, что $h^{(\max)}_{\odot} + \alpha = 90^{\circ}$ (см. рис. 7), где $\alpha$ – угол падения светового луча от Солнца на водную поверхность бассейна. Согласно закону отражения, угол падения равен углу отражения, тогда угол отражения, согласно рис. 7, можно представить в виде:

\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{L + \ell/2}{H + h}, \ \Rightarrow \ \alpha = \mathrm{arctg}\left[\frac{L + \ell/2}{H + h}\right].

В итоге высота Солнца в полдень представляется в виде:

h^{(\max)}_{\odot} = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - \mathrm{arctg}\left[\frac{L + \ell/2}{H + h}\right] = 42^{\circ}.

Иначе, высота Солнца в полдень равна

h^{(\max)}_{\odot} = \left\{\begin{array}{ll} 90^{\circ} - \varphi + \delta_{\odot}, & \text{к югу от Z,} \\ 90^{\circ} + \varphi - \delta_{\odot}, & \text{к северу от Z} \end{array}\right\}, \Rightarrow \ \varphi = \left\{\begin{array}{ll} 90^{\circ} - h^{(\max)}_{\odot}, & \text{к югу от Z,} \\ -(90^{\circ} - h^{(\max)}_{\odot}), & \text{к северу от Z} \end{array}\right\}. \qquad (10)

В итоге широта местности равна $\varphi = +48^{\circ}$ , если Солнце кульминировало к югу от зенита ( $Z$ ) и равно $\varphi = -48^{\circ}$ , если оно кульминировало к северу от зенита.

Схема: кирпичное здание с балконом на высоте H, на балконе астроном ростом h; луч от Солнца (справа вверху) отражается в центре бассейна шириной ℓ и попадает в глаз астронома; углы падения и отражения α, расстояние L от балкона до края бассейна, отрезок ℓ/2. — Рис. 7: к определению основных геометрических параметров задачи.

Определим долготу местности ( $\lambda$ ). Для этого учтем, что в истинный полдень истинное солнечное время равно $T_{\odot} = 12^{\mathrm{h}}$ . Тогда местное среднее солнечное время ( $T_m$ ) в этот момент есть

T_m = T_{\odot} + \eta, \ \ \text{иначе} \ \ T_m = T_0 + \lambda, \ \Rightarrow \lambda = T_m - T_0 = T_{\odot} + \eta - T_0,

здесь $T_0$ – всемирное время, подлежащее определению. Учитывая, что часы астронома показывали декретное время ( $T_{\text{д}}$ ) для данного ( $N = 9$ ) пояса, то его можно представить в виде:

T_{\text{д}} = T_0 + N + 1^{\mathrm{h}}, \ \Rightarrow \ T_0 = T_{\text{д}} - N - 1^{\mathrm{h}} = 3^{\mathrm{h}}20^{\mathrm{m}}.

В итоге $\lambda = 8^{\mathrm{h}}32^{\mathrm{m}} = 128^{\circ}$ .

Т.о. мы получили координаты двух точек поверхности Земли – 1) ( $\varphi = +48^{\circ}$ , $\lambda = 128^{\circ}$ ) и 2) ( $\varphi = -48^{\circ}$ , $\lambda = 128^{\circ}$ ).

Однако, воспользовавшись географической картой мира, легко убедиться, что первая точка лежит на территории Евразии, вдали от побережья океана. Следовательно, астроном пребывал в точке 2 на берегу одно из малых островов Индийского океана, расположенного севернее Австралии.

Ответ: $\varphi = -48^{\circ}$ , $\lambda = 128^{\circ}$ ; астроном пребывал на берегу одно из малых островов Индийского океана, расположенного севернее Австралии. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf