Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 11. «Притяжение Луны и Солнца и положение отвеса»

Решение:

Пусть $g_0$ – ускорение свободного падения у поверхности в данной точке поверхности Земли, обусловленное лишь притяжением Земли и центробежной силой ее суточного вращения. Соответствующий вектор $\vec{g}_0$ определяет направление отвесной линии в данной точке.

Учет гравитационного влияния Луны и Солнца на пробное тело, находящееся у поверхности Земли приводит к модификации результирующего ускорения свободного падения в виде:

Оценим $g_0$ и величины поправок $\Delta\vec{g}_{\odot}, \Delta\vec{g}_{☾}$:

здесь $G = 6.674{\cdot}10^{-11}\ \mathrm{Н{\cdot}м^2/кг^2}$ – универсальная гравитационная постоянная; $\mathfrak{M}_{\odot} = 1.989{\cdot}10^{30}$ кг, $\mathfrak{M}_{\oplus} = 5.974 \cdot 10^{24}$ кг, $\mathfrak{M}_{☾} = 7.348 \cdot 10^{22}$ кг – масса Солнца, Земли и Луны; $\Re_{\oplus} = 6.371 \cdot 10^{6}$ м – радиус Земли, $r_{\oplus} = 1.496 \cdot 10^{11}$ м – среднее расстояние Земли от Солнца, $r_{☾} = 3.844 \cdot 10^{8}$ м – среднее расстояние Луны от Земли. В итоге имеем

Максимальные углы отклонения отвеса от исходного положения, обусловленные гравитационным притяжением Солнца и Луны соответственно, определяется выражениями вида (при взаимной перпендикулярности $g_0$ и $|\Delta\vec{g}_{\odot}|, |\Delta\vec{g}_{☾}|$, т.е. когда данные тела находятся у горизонта):

Как известно, разрешающая способность человеческого глаза составляет $\beta_y = 60'' \div 120''$. Поскольку угол отклонения отвеса, обусловленный притяжением Солнца, не превосходит $125''$, что фактически лежит на пределе разрешения человеческого глаза, а в случае Луны этот угол еще меньше – $0.69''$ (что гораздо меньше $\beta_y$), то зафиксировать изменение положения отвеса визуально невооруженным глазом фактически невозможно. Именно поэтому можно утверждать, что положение отвеса не зависит от положения на небе Солнца и фаз Луны.($\text{\textdollar}_{\max} = 9$ баллов).