Съдържание

Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 10. «Закончится ли "эра полных лунных затмений"?»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 8 т.

Условие

Условие. На какое минимальное расстояние должна удалиться Луна от Земли, чтобы феномен полного лунного затмения прекратил свое существование? Точные расчеты показывают, что Луна, в результате приливного взаимодействия с Землей, в итоге удалится от последней на 550 тыс. км, через 5 млрд. лет. Закончится ли в указанный период "эра полных лунных затмений"? Если да, то оцените оставшееся время "эры" при условии, что Луна удаляется от Земли со скоростью 4 см/год. (8 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $r^{(\max)}_{☾} = 5.50{\cdot}10^{5}$ км, $t_{\max} = 5 \cdot 10^{9}$ лет, $V_{☾} = 4$ см/год.

Найти: $t_{\mathrm{fin}}$ – ?

Решение:

Чтобы феномен полного лунного затмения прекратил свое существование необходимо, чтобы в перигее орбиты Луны диаметр земной тени был меньше диаметра Луны. С использованием формулы (5) для диаметра земной тени данное условие можно записать в виде:

2\Re_{\odot}\left(\nu - x(1 - \nu)\right) \le 2\Re_{☾}, \ \Rightarrow \ x \ge \frac{\nu - \mu}{1 - \nu}, \ \ \text{где} \ \mu = \frac{\Re_{☾}}{\Re_{\odot}} = 2.497 \cdot 10^{-3}.

В итоге окончательно имеем $x \ge 6.725 \cdot 10^{-3}$ , что соответствует расстоянию до Луны $r^{\min}_{☾} = x\,r_{\oplus}$ . Учитывая, что $r_{\oplus}$ принадлежит интервалу (2), то окончательно имеем, что

r^{\min}_{☾} \ge 1022799\,\mathrm{км} \ge r^{(\max)}_{☾},

т.о. минимальное расстояние Луны в перигее должно превышать 1 млн 22.8 тыс. км, что существенно больше конечного радиуса орбиты Луны, который будет иметь место через пять миллиардов. Следовательно, "эра полных лунных затмений" не закончится в ближайшие пять миллиардов лет.

Ответ: "эра полных лунных затмений" не закончится в ближайшие пять миллиардов лет. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf