Съдържание

Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 9. «Линейные размеры тени и полутени Земли»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 8 т.

Условие

Условие. В некоторый момент времени наблюдается полное лунное затмение. Оцените линейные размеры тени и полутени, отбрасываемые Землей, на расстоянии лунной орбиты. Во сколько раз угловые размеры тени и полутени больше соответствующего размера видимого диска Луны? (8 баллов).

Отговори

Решение

Схема: Солнце (центр O1) слева и Земля (центр O2) справа, касательные лучи через точки E1, A1, B1 на Солнце и C2, B2, A2 на Земле; точка F2 пересечения внутренних касательных с углом β, за Землей конус тени (область I) с углом α и вершиной F1, область полутени II, область III; на орбите Луны точки G1, S1, O3, S2, G2, подписи «Орбита Луны». — Рис. 6: к определению линейных размеров тени и полутени Земли.

Решение:

Рассмотрим процесс формирования тени полутени Земли на орбите Луны. Поскольку Солнце много больше (в 109 раз!) Земли, то всегда существуют световые лучи (например, $A_1A_2$ , на рис. 6), которые проходят по касательной к поверхностям данных тел (с одной стороны относительно прямой, проходящей через центры данных тел) и образуют внешнюю границу сходящегося к лунной орбите конуса тени (область I за Землей).

Всегда существуют световые лучи, которые проходят в касательную, по разные стороны тел относительно прямой, проходящей через центры данных тел. Последние образуют внешнюю границу расходящегося конуса полутени (область II за Землей).

Определим угол $\alpha$ при вершине $F_1$ конуса тени и расстояние $O_2F_1 = L$ от центра Земли до вершины. Для этого воспользуемся подобием треугольников $\triangle O_1A_1F_1$ и $\triangle O_2A_2F_1$ :

\frac{O_1A_1}{O_2A_2} = \frac{O_1F_1}{O_2F_1}, \ \Rightarrow \ O_2F_1 = O_1F_1\left(\frac{O_2A_2}{O_1A_1}\right) = (O_1O_2 + L)\left(\frac{O_2A_2}{O_1A_1}\right).

Учтем далее, что $O_1A_1 = \Re_{\odot} = 695500$ км – радиус Солнца, $O_2A_2 = \Re_{\oplus} = 6371$ км – средний радиус Земли, тогда пусть

\nu = \frac{\Re_{\oplus}}{\Re_{\odot}} = 9.160 \cdot 10^{-3}.

$O_1O_2 = r_{\oplus}$ – гелиоцентрическое расстояние Земли. Расстояние от Земли до Солнца ( $r_{\oplus}$ ) и Луны от Земли ( $r_{☾}$ ) изменяются в следующих пределах (см. например, Wikipedia):

147098290\,\mathrm{км} \le r_{\oplus} \le 152098232\,\mathrm{км}, \quad 363104\,\mathrm{км} \le r_{☾} \le 405696\,\mathrm{км}, \qquad (2)

Тогда

L\,(1 - \nu) = \nu\,r_{\oplus}, \ \Rightarrow \ L = \frac{\nu\,r_{\oplus}}{1 - \nu}. \qquad (3)

В итоге

1359877\,\mathrm{км} \le L \le 1406100\,\mathrm{км}. \qquad (4)

Тогда синус угла $\alpha$ есть

\sin\alpha = \frac{\Re_{\oplus}}{L}, \ \Rightarrow \ \alpha = \arcsin\left[\frac{\Re_{\oplus}}{L}\right] \approx \Re_{\odot}\left[\frac{1 - \nu}{r_{\oplus}}\right].

Тогда диаметр пятна земной тени на лунной орбите есть

D_{\mathrm{Sh}} = S_1S_2 = 2\,O_3F_1\,\mathrm{tg}\,\alpha \approx 2(L - r_{☾})\Re_{\odot}\left[\frac{1 - \nu}{r_{\oplus}}\right] = 2\Re_{\odot}\left(\frac{\nu\,r_{\oplus}}{1 - \nu} + r_{\oplus} - r_{☾} - r_{\oplus}\right)\left[\frac{1 - \nu}{r_{\oplus}}\right] =

= 2\Re_{\odot}\left(\frac{r_{\oplus}}{1 - \nu} - r_{☾} - r_{\oplus}\right)\left[\frac{1 - \nu}{r_{\oplus}}\right] = 2\Re_{\odot}\left(1 - (1 - \nu)(1 + x)\right) = 2\Re_{\odot}\left(\nu - x(1 - \nu)\right), \ \ x = \frac{r_{☾}}{r_{\odot}}.

В итоге

D_{\mathrm{Sh}} = 2\Re_{\odot}\left(\nu - x(1 - \nu)\right), \ \ x = \frac{r_{☾}}{r_{\odot}}. \qquad (5)

Из последнего результата следует, что диаметр пятна достигает максимального значения, в случае, когда параметр $x$ принимает минимальное значение (т.е. когда Земля находится в афелии своей орбиты, а Луна в перигее своей орбиты). При $x = \nu/(1 - \nu)$ диаметр пятна лунной тени становится равным нулю! Поскольку $x$ может принимать значения из интервала:

2.345 \cdot 10^{-3} \le x \le 2.715 \cdot 10^{-3}, \qquad (6)

то диаметр пятна лунной тени может принимать значения из интервала

9000\,\mathrm{км} \le D_{\mathrm{Sh}} \le 9510\,\mathrm{км}, \ \Rightarrow 2.59 \le \frac{D_{\mathrm{Sh}}}{2\Re_{☾}} \le 2.74, \qquad (7)

где $\Re_{☾} = 1737$ км – средний радиус Луны.

Определим далее диаметр лунной полутени $G_1G_2$ . Воспользуемся подобием треугольников $\triangle O_1B_1F_2$ и $\triangle O_2B_2F_2$ :

\frac{O_1B_1}{O_2B_2} = \frac{O_1F_2}{O_2F_2},

учитывая, что $O_1B_1 = \Re_{\odot}$ , $O_2B_2 = \Re_{\oplus}$ , $O_2F_2 = \rho$ , $O_1F_2 = r_{\oplus} - \rho$ , тогда последнее уравнение можно представить в виде:

\frac{\Re_{\odot}}{\Re_{☾}} = \frac{r_{\oplus} - \rho}{\rho}, \ \Rightarrow \ \rho = \frac{\nu\,r_{\oplus}}{1 + \nu}.

Тогда синус угла $\beta$ , есть

\sin\beta = \frac{\Re_{\oplus}}{\rho}, \ \Rightarrow \ \beta \approx \frac{\Re_{\oplus}(1 + \nu)}{\nu\,r_{\oplus}} = \frac{\Re_{\odot}(1 + \nu)}{r_{\oplus}}.

В итоге диаметр лунной полутени есть

D_{\mathrm{S-Sh}} = G_1G_2 = 2\,F_2O_3\,\mathrm{tg}\,\beta \approx 2(\rho + r_{☾})\Re_{\odot}\left[\frac{1 + \nu}{r_{\oplus}}\right] = 2\Re_{\odot}\left(\frac{\nu\,r_{\oplus}}{1 + \nu} - r_{\oplus} + r_{☾} + r_{\oplus}\right)\left[\frac{1 + \nu}{r_{\oplus}}\right] =

= 2\Re_{\odot}\left(r_{\oplus} + r_{☾} - \frac{r_{\oplus}}{1 + \nu}\right)\left[\frac{1 + \nu}{r_{\oplus}}\right] = 2\Re_{\odot}\left((1 + x)(1 + \nu) - 1\right) = 2\Re_{\odot}\left(\nu + x(1 + \nu)\right), \ \ x = \frac{r_{☾}}{r_{\odot}}.

В итоге

D_{\mathrm{S-Sh}} = 2\Re_{\odot}\left(\nu + x(1 + \nu)\right), \ \ x = \frac{r_{☾}}{r_{\odot}}. \qquad (8)

В отличие от случая с пятном земной тени, в данном случае диаметр пятна полутени принимает максимальное значение при максимальном значении $x$ . Диаметр полутени всегда отличен от нуля, но принимает минимальное значение, когда $x$ также минимален, в итоге

16033\,\mathrm{км} \le D_{\mathrm{S-Sh}} \le 16553\,\mathrm{км}, \ \ 4.62 \le \frac{D_{\mathrm{S-Sh}}}{2\Re_{☾}} \le 4.76. \qquad (9)

Ответ: к данной задаче представляется системами неравенств (7), (9). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf