Съдържание

Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 8. «Галилеевы спутники и изменения их блеска»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 7 т.

Условие

Условие. У какого из четырех галилеевых спутников в его орбитальном движении вокруг Юпитера наблюдается наибольшее изменение блеска? У какого – наименьшее изменения блеска? Оцените минимальное и максимальное возможные значения искомых величин, если большая полуось и эксцентриситет орбиты Юпитера равны $a_{♃} = 5.204$ а.е., $\varepsilon_{♃} = 0.0488$ , а орбитальные характеристики спутников представлены в таблице 1. (7 баллов).

Параметр	Галилеевы спутники
	Ио	Европа	Ганимед	Каллисто
Большая полуось, км	421700	670900	1070400	1 882 700
Эксцентриситет	0.0041	0.009	0.0013	0.0074
Перийовий, км	420000	664862	1069200	1869000
Апойовий, км	423400	676938	1071600	1897000
Наклонение орбиты к пл-ти экватора Юпитера, град	0.05	0.470	0.200	0.192
Средняя орбитальная скорость, км/c	17.334	13.740	10.880	8.204
Сидерический период обращения, сут	1.769137	3.551181	7.154553	16.689018

Таблица 1: основные орбитальные характеристики галилеевых спутников Юпитера.

Отговори

Решение

Дано: $a_{♃} = 5.204$ а.е., $\varepsilon_{♃} = 0.0488$ .

Найти: $\alpha_{\min}, \alpha_{\max}$ –?

Решение:

Рассмотрим частный случай взаимного расположения Земли и Юпитера – ситуацию противостояния Юпитера (см. рис. 5). Освещенность, создаваемая Солнцем у поверхности галилеева спутника в положениях (1) и (2) есть

E^{(1)}_{\odot} = \frac{L_{\odot}}{4\pi\,(r_J - r_S)^2}, \quad E^{(2)}_{\odot} = \frac{L_{\odot}}{4\pi\,(r_J + r_S)^2},

здесь $r_J$ – гелиоцентрическое расстояние Юпитера, $r_S$ – радиус орбиты галилеева спутника. Полагая, что сферическое альбедо спутника есть $A_S$ , а радиус – $\Re_S$ , то освещенность, создаваемая спутником у поверхности Земли есть

E^{(1)}_S = E^{(1)}_{\odot}\pi\,\Re^2_S\,A_S\,\frac{1}{4\pi\,(\Delta_J - r_S)^2} = \frac{L_{\odot}}{4\pi\,(r_J - r_S)^2} \times \frac{\pi\,\Re^2_S\,A_S}{4\pi\,(\Delta_J - r_S)^2},

E^{(2)}_S = E^{(2)}_{\odot}\pi\,\Re^2_S\,A_S\,\frac{1}{4\pi\,(\Delta_J + r_S)^2} = \frac{L_{\odot}}{4\pi\,(r_J + r_S)^2} \times \frac{\pi\,\Re^2_S\,A_S}{4\pi\,(\Delta_J + r_S)^2},

Отношение освещенностей, создаваемых спутником, пребывающим в самой далекой и самой близкой точке к Солнцу (Земле) определяет изменение его блеска, согласно формуле Погсона:

\frac{E^{(1)}_S}{E^{(2)}_S} = \left(\frac{r_J + r_S}{r_J - r_S}\right)^2 \times \left(\frac{\Delta_J + r_S}{\Delta_J - r_S}\right)^2 = \left(1 + \frac{2\,r_S}{r_J - r_S}\right)^2 \times \left(1 + \frac{2\,r_S}{\Delta_J - r_S}\right)^2, \ \ \Delta m = 2.5\lg\left(\frac{E^{(1)}_S}{E^{(2)}_S}\right).

Схема: Солнце внизу, штриховые дуги орбит Земли (радиус a⊕) и Юпитера (радиус aJ); на одной прямой Солнце, Земля, Спутник (1), Юпитер и Спутник (2); вокруг Юпитера штриховая орбита спутника радиуса aS. — Рис. 5: к определению изменения блеска спутника.

Учитывая далее, что $r_J, \Delta_J \gg r_S$ и используя биномиальное приближение вида

(1 + x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha\,x, \quad \text{при} \ x \ll 1.

в итоге получаем

\frac{E^{(1)}_S}{E^{(2)}_S} \approx 1 + 4\left(\frac{r_S}{r_J} + \frac{r_S}{\Delta_J}\right).

Из полученного результата следует,

во-первых, чем больше радиус орбиты спутника тем больше отношение освещенностей, и, следовательно, больше изменение блеска спутника. Следовательно, наибольшее значение $\Delta m$ при прочих равных условиях следует ожидать у Каллисто, а минимальное – у Ио.
во-вторых, наибольшее значение изменения блеска спутника достигается при минимальном расстоянии от Солнца до Юпитера ( $r_J$ ) и минимальном геоцентрическом расстоянии Юпитера ( $\Delta_J$ ). Следовательно, ситуация реализуется, когда Юпитер находится в перигелии своей орбиты, а Земля находится в афелии, при этом Юпитер в противостоянии для земного наблюдателя.
в-третьих, наименьшее значение изменения блеска спутника достигается при максимальном расстоянии от Солнца до Юпитера ( $r_J$ ) и максимальном геоцентрическом расстоянии Юпитера ( $\Delta_J$ ). Следовательно, ситуация реализуется, когда Юпитер находится в афелии своей орбиты, а Земля находится в афелии, при этом Юпитер в соединении для земного наблюдателя.

Согласно выше сказанному вычислим минимальные и максимальные значения изменения блеска Ио, Европы, Ганимеда и Каллисто по формулам:

\Delta m_{\min} = 2.5\lg\left[1 + 4\,r_S\left(\frac{1}{a_{♃}(1 + \varepsilon_{♃})} + \frac{1}{a_{♃}(1 + \varepsilon_{♃}) + a_{\oplus}(1 + \varepsilon_{\oplus})}\right)\right],

\Delta m_{\max} = 2.5\lg\left[1 + 4\,r_S\left(\frac{1}{a_{♃}(1 - \varepsilon_{♃})} + \frac{1}{a_{♃}(1 - \varepsilon_{♃}) - a_{\oplus}(1 + \varepsilon_{\oplus})}\right)\right],

здесь $a_{\oplus} = 1.000$ а.е., $\varepsilon_{\oplus} = 0.0167$ – большая полуось и эксцентриситет орбиты Земли.

Ответ: У Каллисто наблюдается наибольшее изменение блеска; у Ио – наименьшее изменения блеска. Численные значения представлены в таблице 2. (7 баллов).

Параметр	Галилеевы спутники
	Ио	Европа	Ганимед	Каллисто
$\Delta m_{\min}$ , зв. вел.	$4.15 \cdot 10^{-3}$	$6.59 \cdot 10^{-3}$	$1.05 \cdot 10^{-2}$	$1.84 \cdot 10^{-2}$
$\Delta m_{\max}$ , зв. вел.	$5.60 \cdot 10^{-3}$	$8.89 \cdot 10^{-3}$	$1.42 \cdot 10^{-2}$	$2.48 \cdot 10^{-2}$

Таблица 2: минимальное и максимальное значения изменения блеска галилеевых спутников.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-1]_10-11 classes.pdf