Самара 2016, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 4. «От квадратуры до элонгации»

• 0.48 год

  $\tau = 0.48$ года $= 176$ сут.

Решение:

Для определения искомого промежутка времени рассмотрим движение Земли и Сатурна вокруг Солнца (в приближении круговых орбит).

Пусть в момент времени $t_1$ Земля и Сатурн занимали положения (1). При этом с Земли Сатурн наблюдался в западной квадратуре, в это время, с точки зрения гипотетического наблюдателя, находящегося у поверхности Сатурна, Земля находилась в восточной элонгации. Угол между радиусами-векторами, проведенными из центра Солнца к данным телам в указанный момент времени, составлял $\alpha$, который удовлетворяет условию

здесь $a_{\oplus} = 1.00$ а.е., $a_S = 9.58$ а.е. – средние расстояния Земли и Сатурна от Солнца. Поскольку у Земли сидерический период обращения $T_{\oplus} = 1$ год, существенно меньше периода обращения Сатурна $T_{\oplus} = 29.46$ года, то Земля "обгоняет" Сатурн и нимает новое положение (2). С точки зрения гипотетического наблюдателя, находящегося у поверхности Сатурна, Земля находится в этот момент в восточной элонгации. Здесь угол между радиусами-векторами планет вновь будет равен $\alpha$. Т.о. относительно Сатурна Земля должна переместиться на угол $2\alpha$. При этом угловая скорость ее движения относительно Сатурна равна:

В итоге искомый промежуток времени есть

Ответ: $\tau = 0.48\,\mathrm{года} = 176\,\mathrm{сут}$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 4$ балла).