Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2016, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. Характеристики самодельной трубы Кеплера из очковых стекол

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 1 · 15 т.

Уровень «Новичок»

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень «Знаток»

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень «Профи»

Уровень «Профи» (уровень C)

Уровень «Новичок»

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень «Знаток»

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень «Профи»

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Продольный разрез самодельной трубы: слева в трубе объектива два мениска выпуклыми сторонами наружу и диафрагма между ними (размер «40» мм под ними), справа выдвижная труба меньшего диаметра с окуляром; штрихпунктирная оптическая ось и сходящиеся лучи. — Рис. 3: схематичный чертеж трубы Кеплера.

Условие. В одном отечественном научно-популярном журнале был представлен простой рецепт изготовления самодельной астрономической трубы по схеме Кеплера из очковых стекол. Согласно ему, "для этого необходимо два мениска (выпукло-вогнутые линзы) с оптической силой $\Phi_1 = +0.5$ дптр, расположить с одного конца трубы объектива на расстоянии 40-50 мм друг от друга выпуклыми сторонами наружу (см. рис. 3). Между ними необходимо расположить диафрагму с диаметром $D_d = 25$ мм, для уменьшения сферической и хроматической аберраций. С другого конца трубы объектива следует расположить трубу меньшего диаметра, в которую помещался бы окуляр. В качестве окуляра рекомендуется использовать двояко выпуклую линзу небольшого диаметра (будем полагать $D_{\mathrm{Ok}} = 10$ мм) от лупы с увеличением $\Gamma_2 = 10^{\times}$ ". Для данной трубы вычислите:

1. Фокусные расстояния объектива и окуляра;

2. Увеличение и поле зрения телескопа;

3. Разрешающую способность и проницающую силу телескопа.

Можно ли в данную трубу разрешить двойную звезду $\beta$ Лебедя (Альбирео) и увидеть галилеевы спутники Юпитера и спутники Марса? (15 баллов).

Отговори

Решение

Тот же продольный разрез самодельной трубы Кеплера, что и рис. 3 условия: два мениска с диафрагмой в трубе объектива (размер «40»), выдвижная труба с окуляром справа. — Рис. 10: схематичный чертеж трубы Кеплера.

1. Для определения фокусного расстояния объектива воспользуемся формулой для фокусного расстояния системы из двух тонких линз разнесенных на расстояние $L = 50$ мм (см. например книгу Ландсберга Г.С. "Оптика"):

\frac{1}{F_{\mathrm{Ob}}} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{L}{f_1\,f_2},\ \Rightarrow F_{\mathrm{Ob}} = \frac{f_1\,f_2}{f_1 + f_2 - L} = \frac{f_1^2}{2f_1 - L} = 101\,\text{см}.

здесь $f_1 = f_2 = 1/\Phi_1 = 2$ м. Для определения фокусного расстояния окуляра (лупы) учтем, что все лупы сегодня маркируются по коэффициенту увеличения, вычисленному по формуле для случая прямого увеличенного и мнимого изображения предмета:

\Gamma_2 = \frac{d_{\mathrm{y}}}{F_{\mathrm{Ok}}} + 1,\ \Rightarrow\ F_{\mathrm{Ok}} = \frac{d_{\mathrm{y}}}{\Gamma_2 - 1} = 2.8\,\text{см}. \qquad (19)

где $d_{\mathrm{y}} = 25$ см – расстояние наилучшего зрения для взрослого человека средних лет.

2. Увеличение телескопа вычисляется по формуле

\Gamma = \frac{F_{\mathrm{Ob}}}{F_{\mathrm{Ok}}} = 36^{\times}.

Поле зрения телескопа определяется выражением вида:

\omega = \frac{\Omega}{\Gamma} = 0.56^{\circ} = 33',

здесь $\Omega$ – угловое поле зрения окуляра (лупы), которое, в свою очередь, можно определить выражением вида:

\Omega = 2\,\mathrm{arctg}\left(\frac{D_{\mathrm{Ok}}}{2\,F_{\mathrm{Ok}}}\right) = 20.2^{\circ}.

3. Разрешающая способность телескопа – это минимальное значение угла между компонентами двойной звезды, на котором она еще разрешается как двойная. Для рефрактора данная величина определяется выражением вида:

\beta = \frac{140''}{D_{\mathrm{d}}[\text{мм}]} = 5.6''.

Проницающая сила телескопа – предельная звездная величина самых тусклых звезд, которые еще видны в данный инструмент, определяемая формулой

m_T = 2.1^{\mathrm{m}} + 5^{\mathrm{m}}\lg D_{\mathrm{Ob}}[\text{мм}] = 9.1^{\mathrm{m}}.

В данную трубу можно легко разрешить Альбирео, поскольку угловое расстояние между ее компонентами равно $34''$ , что существенно больше разрешающей способности трубы $\beta$ . В данную трубу можно легко пронаблюдать галилеевы спутники Юпитера поскольку их звездная в окрестности противостояния планеты составляет $\sim 5^m \div 6^m$ , что существенно меньше проницающей силы данного инструмента. Однако, увидеть спутники Марса – Фобос и Деймос в данный инструмент увидеть невозможно, поскольку их звездная величина в окрестности противостояния составляет $\sim 12^m \div 13^m$ , что существенно больше $m_T$ .

Ответ: 1) $F_{\mathrm{Ob}} = 101$ см, $F_{\mathrm{Ok}} = 2.8$ см; 2) $\Gamma = 36^{\times}$ , $\omega = 0.56^{\circ} = 33'$ ; 3) $\beta = 5.6''$ , $m_T = 9.1^{\mathrm{m}}$ ; 4) в данный инструмент можно легко разрешить Альбирео и пронаблюдать галилеевы спутники Юпитера. Однако, увидеть спутники Марса – Фобос и Деймос в данный инструмент невозможно. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-1]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-1]_8-9 classes.pdf