Самара 2016, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 17. Восход спутника на западе. Возможно ли такое?

• Да, существует. У Марса – спутник Фобос (τ_vis = 4.24 часа), у Юпитера – Метида (τ_vis = 7.62 часа) и Адрастея (τ_vis = 8.04 часа).

Условие. Существует ли среди планет Солнечной системы, видимых с поверхности Земли невооруженным глазом и известных человечеству еще со времен Гиппарха, такая планета(ы), пребывая у поверхности которой(ых) вблизи экватора, можно наблюдать восход ее естественного спутника на западе и его заход на востоке? Если да, то оцените время видимости спутника над поверхностью материнской планеты. (14 баллов).

Решение:

Невооруженным глазом с поверхности Земли видны следующие планеты: Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран. Однако, Уран был открыт У. Гершелем (1781 год), что существенно позже эры Гиппарха (2 в. до н.э.), поэтому Уран уже условию задачи не удовлетворяет. Меркурий и Венера не имеют спутников и потому также не удовлетворяют условию задачи.

Остаются лишь Марс, Юпитер, Сатурн. Для того чтобы указанный феномен имел место, необходимо выполнение следующих условий:

1. Спутник должен двигаться по орбите вокруг планеты в туже сторону, что и сама планета;
2. Период обращения ($T_S$) спутника вокруг планеты должен быть меньше периода вращения планеты $P_p$;
3. Плоскость орбиты спутника должна иметь малый угол наклона к плоскости экватора планеты.

У Сатурна нет спутников, которые удовлетворяли указанным условиям (см. например Wikipedia, спутники Сатурна).

У Марса существует лишь один такой спутник – Фобос, а у Юпитера – дав спутника – Метида и Адрастея. Основные характеристики данных тел представлены в таблице 1. Оценим время видимости спутника над поверхностью материнской планеты. Для этого рассмотрим рис. 9.

Таблица 1: некоторые характеристики Марса, Юпитера и их спутников.

Поскольку спутник движется в том же направлении что и планета, то относительно центра планеты (т. $C$) угловая скорость движения спутника будет равна

Спутник будет виден из точки экватора планеты $O$, если только спутник будет пребывать на малой дуге $EW$ своей орбиты. Данной дуге отвечает угол раствора $2\alpha$, который можно определить из прямоугольного треугольника $OCW$.

В итоге время видимости планеты составит

выполняя численные расчеты, в результате получаем следующие результаты:

Ответ: да, существует. У Марса – спутник Фобос ($\tau_{\mathrm{vis}} = 4.24$ часа), у Юпитера – Метида ($\tau_{\mathrm{vis}} = 7.62$ часа) и Адрастея – ($\tau_{\mathrm{vis}} = 8.04$ часа). ($\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).