Самара 2016, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 16. Окончание "эры полных солнечных затмений"

• $\Delta r_{\text{☾}} = 23215.4\,\text{км},\ \tau = 580.38\ \text{млн. лет}$

Условие. На какое минимальное расстояние необходимо удалиться Луне от Земли, чтобы феномен полного солнечного затмения прекратил свое существование на Земле? Оцените время, через которое закончится "эра полных солнечных затмений", если известно, что в настоящее время Луна удаляется от Земли со скоростью 4 см/год. (13 баллов).

Решение:

Для того чтобы феномен полного солнечного затмения прекратил свое существование на Земле, необходимо, чтобы длина ($L_2$) конуса лунной тени была не больше расстояния от Луны до ближайшей точки поверхности Земли. Другими словами, диаметр пятна тени должен быть равен нулю. Согласно результату (11) задачи № 14 для диаметра пятна лунной тени имеем

здесь $\Re_{\text{☾}}$, $\Re_{\odot}$ – средние радиусы Луны и Солнца; $r_{\odot}, r_{\text{☾}}$ – расстояния от Земли до Солнца и Луны соответственно. Поскольку расстояние $r_{\odot}$ принадлежит интервалу (8), то принимая в качестве $r_{\odot}$ его максимальное значение в итоге получаем ограничение вида:

Следовательно, в перигее своей орбиты Луна должна отстоять от Земли на расстоянии, удовлетворяющем последнему неравенству. В результате с учетом (8), минимальное расстояние, на которое необходимо удалиться Луне от Земли есть

Полагая, что скорость удаления спутника неизменна с течением времени, то время, через которое закончится "эра полных солнечных затмений" определяется следующим отношением

Ответ: $\Delta r_{\text{☾}} = 23215.4\,\text{км}$, $\tau = 580.38$ млн. лет. ($\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).