Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 18. Открытие гравитационных волн и слияние черных дыр

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 15 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Условие

График сигнала гравитационной волны на черном фоне: ось Strain (10^-21) от -1.0 до 1.0, ось Time (sec) от 0.30 до 0.45; оранжевая кривая «LIGO Hanford Data (shifted)» и синяя «LIGO Livingston Data» почти совпадают; колебания нарастают по амплитуде и частоте примерно до 0.42 с, после чего затухают. — Рис. 5: кривые искомого сигнала, полученные с помощью двух крупных лазерных интерферометров, расположенных неподалеку от Ливингстона (штат Луизиана) и Хэнфорда (Вашингтон).

Условие. Участниками проектов Advanced LIGO и Virgo 11 февраля 2016 года на пресс-конференции Национального научного фонда США было официально объявлено о фиксации сигнала от гравитационных волн акустического диапазона[^2]. По заверению авторов открытия, источником волн стало слияние двух черных дыр. На рис. 5 представлены кривые искомого сигнала, определяющие специфический характер этого процесса – на рисунке, очевидно, повышение частоты колебаний со временем, что обусловлено взаимным падением тел друг на друга, во вращательном движении вокруг общего центра масс (что и предсказывала Общая теория относительности для сливающихся массивных объектов). С использованием данной кривой и известных теоретических инструментов оцените

[^2]: Гравитационные волны – колебания гравитационного поля, то есть периодические изменения метрики пространства-времени (так называемая "рябь пространства-времени"). В общей теории относительности и в большинстве других современных теорий гравитации гравитационные волны порождаются движением массивных тел с переменным ускорением. Гравитационные волны свободно распространяются в пространстве со скоростью света. Ввиду относительной слабости гравитационных сил (по сравнению с прочими) эти волны имеют весьма малую величину, с трудом поддающуюся регистрации.

1. частоту ( $\omega_0$ ) и период ( $P_0$ ) обращения черных дыр вокруг общего центра масс в момент слияния;

2. массы черных дыр $\mathfrak{M}_1$ и $\mathfrak{M}_2$ (в массах Солнца) и их радиусы $\mathfrak{R}_1$ и $\mathfrak{R}_2$ (в км), если по асимметрии пиков кривых сигнала было определено отношение масс тел – $\mathfrak{M}_1/\mathfrak{M}_2 = 1.24$ .

3. радиус $\mathfrak{R}_3$ образовавшейся черной дыры;

4. частоту ( $\omega_3$ ) обращения образовавшейся черной дыры;

5. максимальную скорость взаимного падения тел, определяемой выражением

V_r = -\frac{64}{5}\frac{G^3}{c^5}\frac{(\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2)(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)}{r^3}, \qquad (5)

здесь $r$ – расстояние между черными дырами.

6. количество энергии, выделившейся в результате слияния черных дыр (выразить в энергиях покоя Солнца);

7. максимальную мощность излучения гравитационных волн, согласно формуле:

N = \frac{32}{5}\frac{G^4}{c^5}\frac{(\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2)^2(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)}{r^5}, \qquad (6)

8. расстояние ( $\Delta$ ) до источника, если безразмерная амплитуда (указанная на рис. 5, как strain) волны представляется выражением

h = \frac{1}{\Delta}\frac{G^2}{c^4}\frac{\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2}{r}. \qquad (7)

(15 баллов).

Отговори

Решение

Решение: прежде всего необходимо понять как образуется подобный сигнал. Рассмотрим данный вопрос с точки зрения теории. Пусть в начальный момент два гравитирующих тела (черные дыры или ЧД) находятся на расстоянии, сравнимом с их размерами (см. рис. 18). Их мощные гравитационные поля, переменные в пространстве и во времени заставляют колебаться "пространство-время", подобно колебаниям поверхности воды при ударе о ее поверхность. И эти колебания собственно и регистрирует лазерный интерферометр проекта Advanced LIGO. В результате излучения гравитационных волн их полная механическая энергия уменьшается и ЧД вынуждены сближаться друг к другу, согласно закону (5). По мере сближения мощность излучения гравитационных волн быстро нарастает, согласно (6) и темпы взаимного падения также нарастают, при этом ЧД движутся по плотно закрученным спиралям. Сигнал достигает максимума во время слияния ЧД. После этого образуется новая вращающаяся черная дыра, от которой сигнал существенно меньше и с течением времени он еще плавно падает.

1. Для определения частоты ( $\omega_0$ ) и периода ( $P_0$ ) обращения черных дыр вокруг общего центра масс в момент слияния необходимо определить точно расстояние между двумя последними (1 и 2 на рис. 19) высокими пиками кривой сигнала и перевести их в секунды. В результате получим время $T_W = 4.20{\cdot}10^{-3}$ с – это есть по сути, период колебаний гравитационной волны. Однако, период обращения системы $P_0 = 2\,T_W = 8.40{\cdot}10^{-3}$ с, поскольку каждый горб гравитационной волны связан с прохождением одной из компонент перед другой. Следовательно, $\omega_0 = 2\pi/P_0 = 748$ рад/с.

2. Для определения массы черных дыр $\mathfrak{M}_1$ и $\mathfrak{M}_2$ и их радиусов $\mathfrak{R}_1$ и $\mathfrak{R}_2$ , воспользуемся радиусом Шварцшильда для черной дыры

\mathfrak{R}_1 = \frac{2\,G\,\mathfrak{M}_1}{c^2}, \ \ \mathfrak{R}_2 = \frac{2\,G\,\mathfrak{M}_2}{c^2}, \qquad (66)

Вверху две черные дыры (желтые шары) сближаются по спиральным траекториям, сливаются и образуют вращающуюся черную дыру (подписи «Сближение по спиральным траекториям», «Слияние», «Вращение результирующей черной дыры»); внизу красная кривая сигнала h(t) от t с нарастающей амплитудой и частотой, максимумом при слиянии и затуханием. — Рис. 18: к определению вопроса образования искомого сигнала в эксперименте Advanced LIGO.

График на черном фоне: Strain (10^-21) от Time (sec) от 0.30 до 0.45; оранжевая кривая «LIGO Hanford Data (shifted)» и синяя «LIGO Livingston Data»; последние высокие пики около 0.40–0.42 с пронумерованы 4, 3, 2, 1. — Рис. 19: к определению периода обращения системы ЧД.

и третьим обобщенным законом Кеплера:

\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2 = \frac{4\pi^2\,a_0^3}{G\,P^2}, \qquad (67)

В момент слияния дыр

a_0 = \mathfrak{R}_1 + \mathfrak{R}_2 = \frac{2\,G}{c^2}(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2). \qquad (68)

В результате (67) можно представить в виде:

\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2 = \frac{32\pi^2\,G^2}{c^6\,P^2}(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)^3, \ \Rightarrow \ \mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2 = \frac{c^3\,P}{4\sqrt{2}\,\pi\,G} = 95.94\cdot\mathfrak{M}_{\odot}. \qquad (69)

Соответствующее значение

a_0 = \mathfrak{R}_1 + \mathfrak{R}_2 = 283.4\ \text{км}. \qquad (70)

С другой стороны, по условию задачи $\mathfrak{M}_1/\mathfrak{M}_2 = 1.24$ . В итоге решая полученную систему уравнений относительно $\mathfrak{M}_1$ , $\mathfrak{M}_2$ в итоге получаем значения

\mathfrak{M}_1 = 53.12\cdot\mathfrak{M}_{\odot}, \ \ \mathfrak{M}_2 = 42.83\cdot\mathfrak{M}_{\odot}, \ \ \mathfrak{R}_1 = 156.89\ \text{км}, \ \ \mathfrak{R}_2 = 126.52\ \text{км}. \qquad (71)

3. Оценим радиус новой дыры в предположении, что масса – сохраняющаяся величина (хотя на самом деле, это не совсем так), т.е.

\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2 = \mathfrak{M}_3, \ \Rightarrow \ \mathfrak{R}_3 = \mathfrak{R}_1 + \mathfrak{R}_2 = 283.4\ \text{км}. \qquad (72)

4. Частоту $\omega_3$ обращения образовавшейся черной дыры можно определить из закона сохранения момента импульса системы (предполагая, что исходные ЧД не имели осевого вращения):

L_1 + L_2 = L_3, \ \Rightarrow \ \mathcal{I}_1\omega_0 + \mathcal{I}_2\omega_0 = \mathcal{I}_3\,\omega_3, \ \Rightarrow \ \omega_3 = \frac{\mathcal{I}_1\omega_0 + \mathcal{I}_2\omega_0}{\mathcal{I}_3}. \qquad (73)

здесь $\mathcal{I}_{\{1,\,2,\,3\}}$ – моменты инерции исходных и конечной черных дыр соответственно. С учетом теоремы Гюйгенса-Штейнера данные величины представляются в виде:

\mathcal{I}_1 = \frac{2}{5}\mathfrak{M}_1\mathfrak{R}_1^2 + \mathfrak{M}_1r_1^2, \ \ \mathcal{I}_2 = \frac{2}{5}\mathfrak{M}_2\mathfrak{R}_2^2 + \mathfrak{M}_2r_2^2, \ \ \mathcal{I}_3 = \frac{2}{5}\mathfrak{M}_3\mathfrak{R}_3^2.

В последних выражениях $r_1, r_2$ – радиусы орбит ЧД в системе центра масс в момент слияния. Последние удовлетворяют условию:

\frac{r_1}{r_2} = \frac{\mathfrak{M}_2}{\mathfrak{M}_1} = \frac{\mathfrak{R}_2}{\mathfrak{R}_1}, \ \ r_1 + r_2 = \mathfrak{R}_1 + \mathfrak{R}_2, \ \Rightarrow \ r_2 = \mathfrak{R}_1, \ \ r_1 = \mathfrak{R}_2.

С учетом (66) угловую скорость $\omega_3$ представляется в виде:

\omega_3 = \frac{\frac{2}{5}\mathfrak{M}_1^3 + \mathfrak{M}_1^2\,\mathfrak{M}_2 + \mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2^2 + \frac{2}{5}\mathfrak{M}_2^3}{\frac{2}{5}(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)^3}\omega_0 = 0.876\,\omega_0 = 655.5\ \text{рад/с}. \qquad (74)

5. Очевидно, что скорость взаимного падения, определяемая выражением (5), достигнет максимального значения при $r = a_0$ :

V_r(a_0) = -\frac{64}{5}\frac{G^3}{c^5}\frac{(\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2)(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)}{a_0^3}, \ \Rightarrow

V_0 = V_r(a_0) = -\frac{8}{5}c\frac{(\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2)}{(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)^2} = 0.395\,c = 1.186\cdot 10^5\ \text{км/с}. \qquad (75)

6. Количество энергии, выделившейся в результате слияния черных дыр (в системе центра масс) можно определить как разность механических энергий до слияния и после:

\Delta E = \frac{\mathfrak{M}_1V_1^2}{2} + \frac{\mathfrak{M}_2V_2^2}{2} + \frac{1}{2}\mathcal{I}_1\omega_0^2 + \frac{1}{2}\mathcal{I}_2\omega_0^2 - \frac{G\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2}{a_0} - \frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}\mathfrak{M}_3\,\mathfrak{R}_3^2\right)\omega_3^2 + \frac{3}{5}\frac{G\mathfrak{M}_3^2}{\mathfrak{R}_3}.

Первые два слагаемых в последнем выражении определяют кинетические энергии поступательного движения данных тел; третье и четвертое слагаемые – их кинетические энергии вращательного движения; пятое и последнее слагаемые – потенциальную энергию гравитационного взаимодействия; шестое – кинетическую энергию вращательного движения образовавшейся черной дыры.

В системе центра масс имеем

V_1 = \frac{\mathfrak{M}_2}{\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2}V_0, \ \ V_2 = \frac{\mathfrak{M}_1}{\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2}V_0.

В итоге $\Delta E$ представляется в виде:

\Delta E = \frac{1}{2}\frac{\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2}{(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)}V_0^2 + \frac{2G^2}{c^4}\left(\frac{2}{5}\mathfrak{M}_1^3 + \mathfrak{M}_1^2\,\mathfrak{M}_2 + \mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2^2 + \frac{2}{5}\mathfrak{M}_2^3\right)\omega_0^2 -

- \frac{4}{5}\frac{G^2}{c^4}(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)^3\omega_3^2 - \frac{1}{2}\frac{\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2}{(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)}c^2 + \frac{3}{10}(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)c^2, \qquad (76)

\Delta E = 19.82\,\mathfrak{M}_{\odot}c^2 = 3.54\cdot 10^{48}\ \text{Дж}. \qquad (77)

7. Вычислим максимальную мощность излучения гравитационных волн, согласно формуле (6) при $r = a_0$ :

N = \frac{32}{5}\frac{G^4}{c^5}\frac{(\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2)^2(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)}{a_0^5} = \frac{1}{5}\frac{c^5}{G}\frac{(\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2)^2}{(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)^4} = 4.43\cdot 10^{50}\ \text{Вт}. \qquad (78)

8. Расстояние ( $\Delta$ ) до источника, оценим по формуле (7) и значению амплитуды $h_{\max} = 10^{-21}$ .

\Delta = \frac{1}{h_{\max}}\frac{G^2}{c^4}\frac{\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2}{a_0} = \frac{1}{2\,h_{\max}}\frac{G}{c^2}\frac{\mathfrak{M}_1\,\mathfrak{M}_2}{(\mathfrak{M}_1 + \mathfrak{M}_2)} = 567\ \text{пк}. \qquad (79)

Замечание: полученные результаты носят оценочный характер, и в основном по порядку величины совпадают с значениями, полученными профессионалами. Однако, точные расчеты искомых величин требуют использования сложных моделей эволюции черных дыр и специальных инструментов Общей теории относительности.

Ответ: 1) $P_0 = 2\,T_W = 8.40\cdot 10^{-3}$ с, $\omega_0 = 2\pi/P_0 = 748$ рад/с; результаты представлены формулами 2) (71), 3) (72), 4) (74), 5) (75), 6) (76)-(77), 7) (78), 8) (79). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf