Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 17. Максимальное количество горячих юпитеров, которые можно зарегистрировать в наблюдениях транзитным методом

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 14 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Условие

Условие. Оцените максимальное количество экзопланет типа «горячий юпитер» (большая полуось которых равна $a = 0.05$ а.е., эксцентриситет равен нулю, а орбита может иметь всевозможные ориентации), которые можно

а) в принципе, зарегистрировать в наблюдениях,

б) зарегистрировать в данный момент

с помощью ПЗС-матрицы, охватывающей участок небосвода с размерами $2^{\circ} \times 2^{\circ}$ и установленной в фокусе телескопа (нацеленного на определенный участок небосвода) с диаметром объектива $D_T = 40$ см у звезд спектральных классов $F, G, K$ . Известно, что транзит экзопланеты (в идеальных условиях) еще можно наблюдать с помощью данного инструмента, если звездная величина звезды как минимум на $\Delta m = 1^{\mathrm{m}}$ меньше проницающей силы телескопа. Концентрация звезд указанных спектральных классов составляет $n = 0.02$ пк $^{-3}$ , а доля экзопланет данного типа, относительно количества таких звезд есть $\alpha_{HJ} = 0.03$ . В качестве значений необходимых для расчетов параметров звезд и экзопланет используйте соответствующие значения для Солнца и Юпитера. (14 баллов).

Отговори

Решение

Дано: поле – $2^{\circ}\times 2^{\circ}$ , $D_T = 40$ см, $\Delta m = 1^{\mathrm{m}}$ , $n = 0.02$ пк $^{-3}$ , $\alpha_{HJ} = 0.03$ .

Найти: $N_f$ , $N_p$ – ?

Решение: Прежде всего определим максимальное расстояние, на котором может находиться звезда, принадлежащая одному из спектральных классов, указанных в условии, для которой еще можно зафиксировать транзит экзопланеты. Для этого вычислим проницающую силу телескопа:

m_T = 2.1^{\mathrm{m}} + 5^{\mathrm{m}}\lg D_T[\text{мм}] = 2.1^{\mathrm{m}} + 5^{\mathrm{m}}\lg D_T[\text{мм}] = 15.1^{\mathrm{m}}.

Следовательно, максимальная звездная величина такой звезды есть

m_{\max} = m_T - \Delta m = 14.1^{\mathrm{m}}.

Тогда расстояние до данной звезды, в предположении, что ее абсолютная звездная величина равна солнечной $M_{\odot} = 4.74^{\mathrm{m}}$ есть

\lg r_{\max} = 1 + 0.2(m_{\max} - M_{\odot}) = 2.872, \ \Rightarrow \ r_{\max} = 10^{2.872} = 745\ \text{пк}.

Следовательно, общее количество звезд, находящихся в пределах сферы радиуса $r_{\max}$ , с центром, совпадающим с Солнцем, есть

N_* = n\,V_{\mathrm{sphere}} = n\frac{4}{3}\pi\,r_{\max}^3 = 3.464\cdot 10^7\ \text{звезд}. \qquad (62)

Количество таких звезд, которые имеют экзопланету типа «горячий юпитер» есть

N_{HJ} = \alpha_{HJ}\,N_* = 1.039\cdot 10^6\ \text{звезд}. \qquad (63)

Количество последних звезд, попадающих в участок небосвода, принадлежащего полю зрения телескопа+ПЗС-камеры:

N_{\mathrm{cam}} = N_{HJ}\frac{2^{\circ}\times 2^{\circ}}{41253\ \text{кв. град}} = 100.7\ \text{звезд},

здесь учтено, что телесный угол отвечающей всей поверхности небосвода равен 41253 кв. град.

Поскольку всевозможные ориентации орбиты юпитера равновероятны, то вероятность, что земной наблюдатель (Солнце) принадлежит транзитной зоне определяется выражением (41) (см. задачу 14 настоящего релиза). Следовательно, максимальное количество звезд, а, следовательно, и экзопланет типа «горячий юпитер», которые можно, в принципе, зарегистрировать в наблюдениях есть

N_f = P_t\,N_{\mathrm{cam}} = \frac{\mathfrak{R}_*}{a}(1 + \gamma)\frac{2^{\circ}\times 2^{\circ}}{41253\ \text{кв. град}}\alpha_{HJ}n\frac{4}{3}\pi\,r_{\max}^3 = 10.31\ \text{звезд}. \qquad (64)

Вероятность того, что наблюдатель в данный момент времени попадет на транзит экзопланеты определяется выражением (46) (см. задачу 14 настоящего релиза). Следовательно, максимальное количество звезд, а, следовательно, и экзопланет типа «горячий юпитер», которые можно зарегистрировать в данный момент есть

N_p = \frac{\tau_{\mathrm{p}}}{S_p}N_f = \frac{\tau_{\mathrm{p}}}{S_p}\,P_t\,N_{\mathrm{cam}},

где $\tau_{\mathrm{p}}$ определяются выражениями (45), $S_p$ есть синодический период обращения экзопланеты.

N_p = \frac{1}{\pi}(1 + \gamma)\frac{\mathfrak{R}_*}{a}\arcsin\left(\frac{\mathfrak{R}_*}{a}\right)\frac{2^{\circ}\times 2^{\circ}}{41253\ \text{кв. град}}\alpha_{HJ}n\frac{4}{3}\pi\,r_{\max}^3 = 0.31\ \text{звезд}. \qquad (65)

Очевидно, что для увеличения количества экзопланет $N_p$ необходимо увеличить площадь ПЗС-камеры, и использовать телескоп с большей проницающей силой.

Отметим также, что время, в течение которого для всех $N_f$ экзопланет можно будет зафиксировать транзиты на данном участке небосвода определяется периодом обращения горячего юпитера по орбите, последний определяется третьим законом Кеплера:

P = \sqrt{\frac{4\pi^2\,a^3}{G(\mathfrak{M}_{\odot} + \mathfrak{M}_J)}} = 4.08\ \text{сут}.

Однако, с Земли трудно организовать непрерывные наблюдения данного участка небосвода в течение указанного временного интервала. Именно поэтому сегодня все чаще поиск транзитов экзопланет ведут из космоса.

Ответ: $N_f = 10.31$ звезд, $N_p = 0.31$ звезд. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf