Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 16. Определение основных параметров системы "HAT-P-7"

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 13 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Условие

Условие. С использованием данных и результатов решения задач № 13 и 15 настоящего тура, кривой блеска звезды HAT-P-7 (см. рис. 4), а также известных теоретических инструментов, в частности, – связи массы ( $\mathfrak{M}_*$ ) и радиуса ( $\mathfrak{R}_*$ ) звезды:

\mathfrak{R}_* = k\,\mathfrak{M}_*^{\chi}, \qquad (4)

где $k$ и $\chi$ – коэффициенты для конкретного класса светимости звезды (в случае HAT-P-7, следует полагать $k = 1.06$ , $\chi = 0.945$ , данные параметры представлены в солнечных массах и радиусах соответственно), определите следующие параметры для звезды и экзопланеты: 1) $\mathfrak{R}_*$ , $\mathfrak{M}_*$ , 2) большую полуось ( $a$ ) орбиты экзопланеты и ее наклонение ( $i$ ), 3) радиус экзопланеты $\mathfrak{R}_p$ . Выполнить численный анализ результатов на примере системы HAT-P-7. (13 баллов).

Отговори

Решение

Решение: выпишем все уравнения (см. решения задач 13 и 15), устанавливающие связь между искомыми и известными величинами:

\gamma = \frac{\mathfrak{R}_p}{\mathfrak{R}_*} = \sqrt{\Delta F} = 8.124\cdot 10^{-2}, \qquad (50)

\Delta t_t = \frac{P}{\pi}\arcsin\left[\frac{\mathfrak{R}_*}{a}\sqrt{\frac{(1 + \gamma)^2 - (a/\mathfrak{R}_*)^2\cos^2 i}{1 - \cos^2 i}}\right] = 4.431\ \text{часа}, \qquad (51)

\Delta t_f = \frac{P}{\pi}\arcsin\left[\frac{\mathfrak{R}_*}{a}\sqrt{\frac{(1 - \gamma)^2 - (a/\mathfrak{R}_*)^2\cos^2 i}{1 - \cos^2 i}}\right] = 2.585\ \text{часа}, \qquad (52)

Данные уравнения следует дополнить третьим законом Кеплера

P^2 = \frac{4\pi^2\,a^3}{G(\mathfrak{M}_* + \mathfrak{M}_p)}, \qquad (53)

и уравнением (4). Очевидно, что полученная система является замкнутой для искомых величин: $\mathfrak{R}_*$ , $\mathfrak{M}_*$ , $a$ , $i$ , $\mathfrak{R}_p$ , в предположении $\mathfrak{M}_p \ll \mathfrak{M}_*$ .

Перепишем уравнения (51), (52) иначе

\alpha = \sin^2\left(\frac{\pi\,\Delta t_t}{P}\right) = x^2\frac{(1 + \gamma)^2 - (1/x)^2\cos^2 i}{1 - \cos^2 i} = 6.755\cdot 10^{-2}, \qquad (54)

\beta = \sin^2\left(\frac{\pi\,\Delta t_f}{P}\right) = x^2\frac{(1 - \gamma)^2 - (1/x)^2\cos^2 i}{1 - \cos^2 i} = 2.334\cdot 10^{-2}, \quad x = \frac{\mathfrak{R}_*}{a}. \qquad (55)

Из уравнений (54)-(55) следует, что

\frac{\alpha}{\beta} = \frac{(1 + \gamma)^2 - (1/x)^2\cos^2 i}{(1 - \gamma)^2 - (1/x)^2\cos^2 i}, \quad (\alpha - \beta) = x^2\frac{(1 + \gamma)^2 - (1 - \gamma)^2}{1 - \cos^2 i}. \qquad (56)

Из последнего уравнения (56) следует, что

\cos^2 i = 1 - x^2\frac{4\gamma}{(\alpha - \beta)}, \ \Rightarrow \ i = \arccos\left[\pm\sqrt{1 - x^2\frac{4\gamma}{(\alpha - \beta)}}\right]. \qquad (57)

С другой стороны, из первого уравнения (56) следует выражение для $\cos^2 i$ :

\cos^2 i = \frac{\alpha(1 - \gamma)^2 - \beta(1 + \gamma)^2}{\alpha - \beta}\,x^2.

Приравнивая правые части двух последних результатов, получаем уравнение вида:

\frac{\alpha(1 - \gamma)^2 - \beta(1 + \gamma)^2}{\alpha - \beta}x^2 = 1 - x^2\frac{4\gamma}{(\alpha - \beta)}, \ \Rightarrow

x = \sqrt{\frac{(\alpha - \beta)}{\alpha(1 - \gamma)^2 - \beta(1 + \gamma)^2 + 4\gamma}} = 0.3530. \qquad (58)

С использованием (57) получаем значение $i = 82.94^{\circ}$ . Далее учитывая, что $a = \mathfrak{R}_*/x$ (здесь выражено в а.е., а чтобы перейти к радиусам Солнца следует домножить на переводной коэффициент $\eta = 4.649\cdot 10^{-3}\ \mathfrak{R}_{\odot}/\text{а.е.}$ ), можно переписать уравнение (53), с учетом (4) в виде:

P^2 \approx \frac{4\pi^2\,\eta^3\mathfrak{R}_*^3}{G\,x^3\,\mathfrak{M}_*} = \frac{4\pi^2\,k^3\,\eta^3\,\mathfrak{M}_*^{3\chi - 1}}{G\,x^3},

Аналогичное соотношение можно записать для Земли и Солнца:

P_{\oplus}^2 = \frac{4\pi^2\,a_{\oplus}^3}{G\,\mathfrak{M}_{\odot}}.

Поделим одно соотношение на другое:

\left(\frac{P}{P_{\oplus}}\right)^2 = \frac{k^3\eta^3\mathfrak{M}_*^{3\chi - 1}\,\mathfrak{M}_{\odot}}{x^3\,a_{\oplus}^3}, \ \Rightarrow

\Rightarrow \ \mathfrak{M}_* = \left[\frac{x^3\,a_{\oplus}^3}{k^3\,\eta^3\,\mathfrak{M}_{\odot}}\left(\frac{P}{P_{\oplus}}\right)^2\right]^{\frac{1}{3\chi - 1}}. \qquad (59)

Если использовать систему астрофизических единиц $\mathfrak{M}_{\odot} = 1$ , (т.е. масса звезды в массах Солнца), $a_{\oplus} = 1$ а.е., $P_{\oplus} = 1$ год (т.е. $P$ следует выразить в годах), то

\Rightarrow \ \mathfrak{M}_* = \left[\frac{x^3\,P^2}{\eta^3\,k^3}\right]^{\frac{1}{3\chi - 1}} = 4.115\,\mathfrak{M}_{\odot}. \qquad (60)

В итоге радиусы звезды и планеты, а также большая полуось есть

\mathfrak{R}_* = 4.036\cdot\mathfrak{R}_{\odot}, \ \ \mathfrak{R}_p = \gamma\,\mathfrak{R}_* = 3.19\,\mathfrak{R}_J, \ \ a = \mathfrak{R}_*/x = 5.315\cdot 10^{-2}\ \text{а.е.}, \qquad (61)

здесь $\mathfrak{R}_J = 71492$ км – средний экваториальный радиус Юпитера.

Результаты	$i$ , град	$a$ , $\times 10^{-2}$ а.е.	$\mathfrak{M}_*$ , $\mathfrak{M}_{\odot}$	$\mathfrak{R}_*$ , $\mathfrak{R}_{\odot}$	$\mathfrak{R}_p$ , $\mathfrak{R}_J$
Наши	82.94	5.315	4.115	4.036	3.19
Проф-лы	$85.7^{+3.5}_{-3.1}$	$3.77 \pm 0.05$	$1.47^{+0.8}_{-0.5}$	$1.84^{+0.23}_{-0.11}$	$1.363^{+0.195}_{-0.087}$

Таблица 4: Основные параметры для системы HAT-P-7, полученные в рамках данной задачи и профессионалами.

В таблице 4 представлены для сравнения значения основных параметров системы HAT-P-7, полученные в настоящей задаче и результаты для тех же параметров, полученные профессионалами. Из таблицы видно, что лишь для наклонения наш результат согласуется с результатами профессионалов. Для остальных параметров, наши значения получились несколько завышенными. Причина в том, что здесь использовалась одна из первых кривых блеска, с малой статистикой, которая была еще весьма неточной, по ней с существенной ошибкой была получена величина $\gamma$ , которая и определила завышенные значения для остальных искомых величин. Профессионалы использовали более позднюю, точную кривую блеска и более точные методы обработки данных.

Ответ: представлен выражениями (57), (60), (61); численные результаты представлены в таблице 4. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf