Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 15. Времена транзитов (затмений) экзопланеты HAT-P-7b

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 13 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень C). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Условие

Условие. Экзопланета HAT-P-7b (с радиусом $\mathfrak{R}_p$ ) движется вокруг материнской звезды HAT-P-7 (с радиусом $\mathfrak{R}_*$ ) по орбите, близкой к круговой (т.е. эксцентриситет $\varepsilon = 0$ ), с большой полуосью $a$ , наклонением $i$ к картинной плоскости и периодом $P$ . Найдите аналитические выражения для

а) полного времени транзита (затмения) ( $\Delta t_t$ ) – промежутка времени, отсчитываемого от момента начала прохождения (затмения) планеты по диску (диском) материнской звезды, до момента ее полного схода (выхода) с (из-за) диска звезды,

б) времени полного транзита (затмения) ( $\Delta t_f$ ) – промежутка времени, отсчитываемого от момента, когда диск планеты полностью "зашел" на (за) диск материнской звезды, до момента начала выхода планеты с (из-за) диска звезды

как функции параметров $\mathfrak{R}_p$ , $\mathfrak{R}_*$ , $i$ , $a$ и $P$ . По кривой блеска звезды HAT-P-7 (см. рис. 4) определите указанные времена. (13 баллов).

Отговори

Решение

Решение: рассмотрим случай нецентрального полного транзита (см. рис. 17). В этом случае планета будет двигаться по дуге окружности, незначительно отличающейся от хорды $AB$ длиной $\Delta$ . Хорда отстоит от диаметра планеты на величину $p = a\cos i$ . В момент времени $t_1$ , планета начинает двигаться по диску звезды полностью на него переходит в момент времени $t_2$ . До момента времени $t_3$ наблюдается полный транзит планеты. С момента $t_3$ и до момента $t_4$ планета сходит с диска центрального светила. В момент $t_4$ транзит завершен.

а) Следовательно, полное время транзита (затмения) есть

\Delta t_t = t_4 - t_1 = 2(t_4 - t_0).

Пусть $V$ – орбитальная скорость планеты, определяемая выражением вида:

V = \frac{2\,\pi\,a}{P}. \qquad (47)

Вверху график «Полный нецентральный транзит: кривая блеска» — поток Φ от времени t, сут, с уровнями Φ0 и Φt и моментами t1, t2, t0, t3, t4. В центре желтый диск звезды с центром C; планета (синие кружки) проходит по хорде AB на расстоянии a·cos i от центра (положения A1, B1, B2, A2, точка C1, длина хорды Δ), а также по диаметру (2ℜ, 2ℜp). Внизу график «Полный центральный транзит: кривая блеска» с моментами t1–t4. — Рис. 17: к определению кривой блеска звезды с транзитной экзопланетой.

За промежуток времени $\Delta t_t$ планета проходит по орбите угол $\alpha$ . Если смотреть сверху на движение планеты (т.е. когда картинная плоскость совпадает с плоскостью в которой находится наблюдатель и центр звезды), то планета будет двигаться уже по эллипсу, причем его радиус во время транзита будет равен $r = a\sin i$ .

В момент $t_4$ планета сместится от центра диска на угол $\alpha/2$ и окажется в точке $A_2$ , причем расстояние от точки $C_1$ есть $C_1A_2$ и с одной стороны есть

C_1A_2 = r\sin\frac{\alpha}{2} = a\ \sin i\ \sin\frac{\alpha}{2},

с другой стороны, по теореме Пифагора

(C_1A_2)^2 = (CA_2)^2 - (CC_1)^2, \ \Rightarrow

a^2\ \sin^2 i\ \sin^2\frac{\alpha}{2} = (\mathfrak{R}_* + \mathfrak{R}_p)^2 - (a\ \cos i)^2, \ \Rightarrow

тогда интервал $\Delta t_t$ можно определить как

\Delta t_t = \frac{a\cdot\alpha}{V} = \frac{P}{\pi}\arcsin\left[\frac{\mathfrak{R}_*}{a}\sqrt{\frac{(1 + \gamma)^2 - (a/\mathfrak{R}_*)^2\cos^2 i}{1 - \cos^2 i}}\right], \quad \text{где}\ \ \gamma = \frac{\mathfrak{R}_p}{\mathfrak{R}_*}. \qquad (48)

Для определения времени полного транзита (затмения) $\Delta t_f$ , следует провести аналогичные рассуждения для треугольника $\triangle CC_1B_2$ и учесть что $CB_2 = \mathfrak{R}_* - \mathfrak{R}_p$ . В итоге имеем

\Delta t_f = \frac{P}{\pi}\arcsin\left[\frac{\mathfrak{R}_*}{a}\sqrt{\frac{(1 - \gamma)^2 - (a/\mathfrak{R}_*)^2\cos^2 i}{1 - \cos^2 i}}\right]. \qquad (49)

По рис. 4 указанные времена составляют $\Delta t_t = 4.431$ часа, $\Delta t_f = 2.585$ часа.

Ответ: аналитические результаты представлены формулами (48), (49). По рис. 4 указанные времена для HAT-P-7b составляют $\Delta t_t = 4.431$ часа, $\Delta t_f = 2.585$ часа. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_10-11 classes.pdf