Самара 2016, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 14. Определение вероятности обнаружения транзита экзопланеты

• а) $P_t = \frac{\Omega_t}{4\pi} = \frac{\mathfrak{R}_*}{a}\frac{(1 + \gamma)}{(1 - \varepsilon^2)}$

• б) $P_{pres} = \frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{(1 - \varepsilon_p^2)}\frac{\mathfrak{R}_*}{a}\arcsin\left(\frac{\mathfrak{R}_*}{a}\right)$

  Численные результаты для классических планет — в таблице 3 официального решения.

Решение: а) как было отмечено, в решении предыдущей задачи, необходимым условием для наблюдения транзита экзопланеты является условие для наклонения орбиты экзопланеты – $i_p \approx 90^{\circ}$, т.е. экзопланетная система должна быть расположена к земному наблюдателю "с ребра". Поскольку всевозможные ориентации орбиты экзопланеты равновероятны, то это эквивалентно тому, что мы можем рассматривать данную звезду с экзопланетой с разных направлений, но сможем в принципе, видеть транзит, если только попадем в область транзита (см. об этом подробнее решение задачи № 12, данного этапа). Данной области отвечает телесный угол $\Omega_t$, определяемый выражением (34). Телесный угол, отвечающий всей сфере (всем возможным направлениям, с которых можно рассматривать данную систему), равен $4\pi$. Тогда вероятность принципиальной возможности детектирования феномена транзита экзопланеты по диску материнской звезды есть

б) Центральным транзитом планеты по диску материнской звезды называется транзит, при котором планета перемещается по диаметру видимого диска звезды (см. рис. 16). Вероятность данного события ($P_c$) можно определить отношением телесного угла $\Omega_c$, отвечающего области на небесной сфере (если смотреть из центра звезды), из точек которой можно будет наблюдать указанный феномен к полному телесному углу всей сферы (равному $4\pi$).

Телесному углу $\Omega_c$ на небесной сфере отвечает полоса (пояс), заключенная между прямыми AB и AE и шириной $\delta$. Последний параметр определяется из треугольника $\triangle ABC$:

Полагая далее, что $\mathfrak{R}_* \ll r_p$, с учетом (30), в итоге получаем выражение для $\delta$:

Очевидно, что полный телесный угол представляется в виде:

Для определения вероятности детектирования феномена центрального транзита экзопланеты по диску материнской звезды в данный момент времени учтем, что время транзита планеты, согласно (21), можно представить в виде:

Данный транзит обязательно должен произойти в течение временного интервала $(0, S_p)$. Следовательно, вероятность того, что наблюдатель в данный момент времени попадет на транзит экзопланеты есть

Выполним численный анализ полученных результатов на примере Солнца и всех классических планет. Численные результаты представлены в таблице 3.

Таблица 3: параметры орбиты и радиусы классических планет (исходные данные), вычисленные вероятности детектирования их транзитов.

Из данных таблицы следует, что чем ближе планета к Солнцу и чем больше ее размеры, тем больше определенные выше вероятности. Наибольшими значениями вероятностей детектирования транзита обладает Меркурий ($P_t \sim 10^{-2}$, $P_{pres} \sim 10^{-7}$), а наименьшими – Нептун ($P_t \sim 10^{-4}$, $P_{pres} \sim 10^{-10}$).

Ответ: аналитические результаты представлены выражениями (41) и (46), численные результаты представлены в таблице 3. ($\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).