Самара 2016, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 10. Кратность увеличения лупы

• $\Gamma^{(a)}_{\min\ L+Y} = 1 + \frac{d_0}{f}$

пусть $h$ – линейные размеры небольшого предмета, наблюдаемого глазом с расстояния наилучшего зрения $d_0$. Тогда тангенс угла $\alpha$, под которым будет виден данный предмет есть

здесь подразумевается, что для небольшого предмета выполняется условие $h \ll d_0$. Если предмет рассматривается через тонкую линзу лупы, то для нее справедливо уравнение тонкой линзы:

здесь $a, b, f$ – расстояния (с учетом знака) от предмета до линзы, от линзы до изображения и фокусное расстояние линзы соответственно.

Не трудно убедиться в том, что если с помощью лупы мы получаем прямое изображение (см. рис. 12), то оно должно быть мнимым, т.е. $b < 0$ (образ предмета формируется в подпространстве предметов), следовательно, $a \leq f$. Традиционно в геометрической оптике используются понятия линейного ($\Gamma^{(\ell)}$) и углового ($\Gamma^{(a)}$) увеличения линзы (оптической системы):

здесь $h, H$ – линейные размеры предмета и его изображения; $\beta$ – угол, под которым виден данный предмет с помощью линзы. Причем,

Из подобия треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle OA_1B_1$ следует, что

При выводе последнего результата мы использовали формулу (4) и условие $b < 0$. Тогда указанные увеличения можно представить в виде:

При $a \to f$, линейное увеличение линзы стремится к бесконечности, а угловое наоборот – стремится к своему минимальному значению:

здесь $\Phi_l = 1/f$ – оптическая сила лупы. Учитывая, что в создании изображения вносит вклад сам глаз, к которому, как правило, в плотную примыкает лупа, то оптическая сила системы «лупа-глаз» есть

По аналогии с (7) запишем минимальное угловое увеличение системы: «лупа-глаз»:

Что и требовалось доказать. Отметим, что, например, линза с $f = d_0/2$ будет создавать вместе с глазом минимальное угловое увеличение, равное $3^{\times}$. (8 баллов).