Съдържание

Самара 2016, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 18. Проект орбитальной космической печи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2016

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2 · 1 март 2016 г. · 10 т.

Дорогие друзья!

Дорогие друзья!

Вашему вниманию в данном релизе представлены 18 оригинальных задач трех уровней сложности – «Новичок» (уровень А), «Знаток» (уровень B) и «Профи» (уровень С). Задачи составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 8-9 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Памятка участника SamRAS-2016

Памятка участника SamRAS-2016

Официальная страница Астрошколы: http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm
Официальная группа в VK: http://vk.com/samras2016
Электронный ящик SamRAS-2016: samras2016@mail.ru
Сроки подачи работ SamRAS-2016 тура № 2 на проверку: 01.03.2016-30.04.2016!!!

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Дорогие друзья! (файл решений)

Дорогие друзья!

Все задачи, представленные Вашему вниманию в данном релизе, являются оригинальными и составлены в соответствии с Перечнем вопросов по астрономии, рекомендуемых предметной методической комиссией Всероссийской Олимпиады по астрономии и физике космоса для подготовки школьников 10-11 классов к решению задач заключительного этапа Олимпиады.

При использовании материалов релиза ссылка на документ обязательна!

Ссылка: «Условия и решения конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2016 среди учащихся 8-9 классов заочного тура № 2». – http://v937184r.bget.ru/SamRAS.htm

Автор задач – Филиппов Юрий Петрович, научный руководитель школы, старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского национального исследовательского университета им. академика С.П. Королева, к.ф.-м.н., методист СДДЮТ.

Верстка в системе LaTeX – Филиппов Ю.П.

Условие

Условие. Предложен проект космической печи для плавления металла с температурой плавления $T_{\mathrm{m}}$ . Сама печь будет сделана из самого тугоплавкого материала – сплава карбидов гафния и тантала (температура плавления – $T_{\max} = +4215^{\circ}\mathrm{C}$ , альбедо – $A_f = 0.1$ ). Предполагается, что данная печь будет двигаться в околосолнечном космическом пространстве по круговой орбите и за один оборот должна расплавлять порцию металла, имеющую форму шара радиуса $R$ , с альбедо $A_{\mathrm{m}}$ , удельной теплотой плавления $\lambda_{\mathrm{m}}$ и массовой плотностью $\rho_{\mathrm{m}}$ . Рассмотрите в качестве конкретных примеров следующие металлы: 1) алюминий ( $R = 1$ м, $\rho_{\mathrm{m}} = 2700$ кг/м $^3$ , $\lambda_{\mathrm{m}} = 398.31$ кДж/кг, $A_{\mathrm{m}} = 0.19$ , $T_{\mathrm{m}} = 933.5$ K); 2) никель ( $R = 1$ м, $\rho_{\mathrm{m}} = 8902$ кг/м $^3$ , $\lambda_{\mathrm{m}} = 299.728$ кДж/кг, $A_{\mathrm{m}} = 0.15$ , $T_{\mathrm{m}} = 1999$ K) и найдите соответствующие значения радиуса орбиты и периода обращения. Следует учесть, что при высоких температурах металлы излучают как абсолютно черное тело. Определите также максимально возможную массу никеля, которую можно расплавить за один период обращения печи вокруг Солнца, если полагать, что печь имеет форму шара радиуса $R_f$ . Найти соответствующие значения периода и радиуса орбиты. (10 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $T_{\mathrm{m}}$ , $T_{\max} = +4215^{\circ}\mathrm{C}$ , $A$ , $m_{\mathrm{m}}$ .

Найти: $r$ , $P$ – ?

Решение: Воспользуемся третьим законом Кеплера для космической печи и Земли:

\left(\frac{P}{P_{\oplus}}\right)^2 = \left(\frac{r}{a_{\oplus}}\right)^3, \ \Rightarrow \ P = P_{\oplus}\left(\frac{r}{a_{\oplus}}\right)^{3/2}, \qquad (21)

здесь $P_{\oplus} = 1$ год – период обращения Земли вокруг Солнца; $a_{\oplus} = 1$ а.е. – большая полуось земной орбиты. Далее учтем, что поглощенная энергия солнечного излучения металлическим шаром тратится на процессы переизлучения и плавления. Запишем уравнение энергетического баланса для куска металла, находящегося на гелиоцентрическом расстоянии $r$ в стадии плавления:

N_{\mathrm{abs}} = N_{\mathrm{rad}} + N_{\mathrm{melt}}. \qquad (22)

здесь $N_{\mathrm{abs}}$ – мощность излучения, поглощенного куском металла, можно записать так:

N_{\mathrm{abs}} = f_{\odot}\left(\frac{a_{\oplus}}{r}\right)^2(1 - A_{\mathrm{m}})\pi\,R^2, \qquad (23)

где $f_{\odot} = 1361$ Вт/м $^2$ – солнечная постоянная. Мощность излучения $P_{\mathrm{rad}}$ , излучаемого шаром есть

N_{\mathrm{rad}} = 4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{m}}^4,

здесь $\sigma = 6.57 \cdot 10^{-8}$ Вт/(м $^2 \cdot$ K $^4$ ) – постоянная Стефана-Больцмана. Мощность $N_{\mathrm{melt}}$ представляется выражением вида

N_{\mathrm{melt}} = \lambda_{\mathrm{m}}\frac{m_{\mathrm{m}}}{P} = \frac{4}{3}\pi\,\lambda_{\mathrm{m}}\,R^3\,\frac{\rho_{\mathrm{m}}}{P} = \frac{4}{3}\pi\,\lambda_{\mathrm{m}}\,R^3\,\frac{\rho_{\mathrm{m}}}{P_{\oplus}}\left(\frac{a_{\oplus}}{r}\right)^{3/2}.

В итоге уравнение баланса (22) представляется в виде:

f_{\odot}\left(\frac{a_{\oplus}}{r}\right)^2(1 - A_{\mathrm{m}})\pi\,R^2 = 4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{m}}^4 + \frac{4}{3}\pi\,\lambda_{\mathrm{m}}\,R^3\,\frac{\rho_{\mathrm{m}}}{P_{\oplus}}\left(\frac{a_{\oplus}}{r}\right)^{3/2}. \qquad (24)

Поделим все уравнение на $4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{m}}^4$ и введем новую переменную и параметры:

x = \sqrt{\frac{a_{\oplus}}{r}}, \ \ A = \frac{f_{\odot}(1 - A_{\mathrm{m}})}{4\,\sigma T_{\mathrm{m}}^4}, \ \ B = \frac{1}{3}\frac{\lambda_{\mathrm{m}}\,R\rho_{\mathrm{m}}}{P_{\oplus}\,\sigma T_{\mathrm{m}}^4}. \qquad (25)

В результате уравнение (24) представляется в виде:

A\,x^4 = B\,x^3 + 1. \qquad (26)

Вычислим значения параметров $A$ , $B$ для данных металлов:

Металл	$R$ , м	$\rho_{\mathrm{m}}$ , кг/м $^3$	$\lambda_{\mathrm{m}}$ , кДж/кг	$A_{\mathrm{m}}$	$T_{\mathrm{m}}$ , K	A,	B
Алюминий	1	2700	398.310	0.19	933.5	$6.40 \cdot 10^{-3}$	$2.64 \cdot 10^{-4}$
Никель	1	8902	299.728	0.15	1999	$3.19 \cdot 10^{-4}$	$3.11 \cdot 10^{-5}$

Таблица 2: значения исходных и вспомогательных параметров задачи.

Очевидно, что уравнение (28) проще всего решить графически. Для этого будем далее полагать, что $f_1(x) = A \cdot x^4$ , $f_2(x) = B \cdot x^3 + 1$ , построим графики данных функций, найдем точку их пересечения и соответствующее значение $x_0$ . Из рис. 15.а) для алюминия имеем $x_0 = 3.55$ , согласно 15.б) для никеля $x_0 = 7.50$ .

Соответствующие значения радиусов орбит и периодов обращения, согласно (25), (21), представляются следующими значениями:

Два графика с сеткой. Слева «а) Алюминий»: ось x от 0 до 4, ось y от 0.0 до 1.5; сплошная кривая f1(x) растет от нуля, штриховая горизонтальная прямая f2(x) на уровне около 1.0; точка пересечения около x = 3.55 отмечена пунктирной вертикалью. Справа «б) Никель»: ось x от 0 до 8, ось y от 0.0 до 1.2; кривая f1(x) и штриховая прямая f2(x) около 1.0 пересекаются около x = 7.5, отмечено пунктирной вертикалью. — Рис. 15: к определения решения уравнения (28) для а) алюминия, б) никеля.

Металл	$r$ , a.e.	$P$ , сут
Алюминий	0.0795	8.19
Никель	0.0178	0.86

Таблица 3: результаты расчетов для радиуса круговой орбиты и периода обращения космической печи.

Т.о. печь должна быть расположена очень близко к Солнцу, в сравнение с Землей и период обращения будет составлять несколько суток.

Очевидно, что чем ближе расположена печь к Солнцу, тем больше металла она сможет переплавить за один оборот вокруг Солнца. Однако, сама печь не должна при этом разрушится. Очевидно, что температура печи не должна превышать значение $T_{\max}$ . Найдем радиус орбиты, на которой достигается такая температура печи. Для это вновь воспользуемся уравнением энергетического баланса:

f_{\odot}\left(\frac{a_{\oplus}}{r}\right)^2(1 - A_f)\pi\,R_f^2 = 4\pi R_f^2\sigma T_{\max}^4, \ \Rightarrow

r_{\min} = a_{\oplus}\sqrt{\frac{f_{\odot}(1 - A_f)}{4\,\sigma T_{\max}^4}} = 0.0041\,\text{а.е.} = 6.19 \cdot 10^5\,\text{км} < \mathfrak{R}_{\odot}. \qquad (27)

Т.о. минимально возможный радиус орбиты печи равен радиусу Солнца ( $\mathfrak{R}_{\odot}$ ), при этом, согласно (21), $P = 2.78$ часа.

Запишем вновь уравнение энергетического баланса для металлического шара (24):

f_{\odot}\left(\frac{a_{\oplus}}{\mathfrak{R}_{\odot}}\right)^2(1 - A_{\mathrm{m}})\pi\,R^2 = 4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{m}}^4 + \frac{4}{3}\pi\,\lambda_{\mathrm{m}}\,R^3\,\frac{\rho_{\mathrm{m}}}{P_{\oplus}}\left(\frac{a_{\oplus}}{\mathfrak{R}_{\odot}}\right)^{3/2}, \ \Rightarrow \qquad (28)

R_{\max} = \frac{3}{4}\frac{f_{\odot}(1 - A_{\mathrm{m}})P_{\oplus}}{\lambda_{\mathrm{m}}\,\rho_{\mathrm{m}}}\sqrt{\frac{a_{\oplus}}{\mathfrak{R}_{\odot}}} - 3\frac{\sigma T_{\mathrm{m}}^4\,P_{\oplus}}{\lambda_{\mathrm{m}}\,\rho_{\mathrm{m}}}\left(\frac{\mathfrak{R}_{\odot}}{a_{\oplus}}\right)^{3/2} = 105.6\,\text{м}. \qquad (29)

Соответствующее значение массы есть $M_{\max} = \frac{4}{3}\pi R_{\max}^3\rho_{\mathrm{m}} = 4.4 \cdot 10^{10}$ кг. Значение последнего эквивалентно массе астероида небольших размеров. Т.о. такую печь можно было бы использовать для переплавки небольших астероидов и использования металла на благо человечества.

Ответ: представлен системой значений таблицы (3), а также величинами $M_{\max} = 4.4 \cdot 10^{10}$ кг, при $r = \mathfrak{R}_{\odot}$ , $P = 2.78$ часа. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 15$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2016-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2016-2]_8-9 classes.pdf